【摘要】：堆壘問題是數(shù)論中非常重要的問題,研究將整數(shù)表為特定整數(shù)的方冪之和的可能性:N = x1k+x2k+...+xsk.(0.1)例如,Waring問題是尋找整數(shù)表為整數(shù)的整數(shù)次冪之和的可表性,即在(0.1)中k是一個固定的整數(shù)且xi是自然數(shù).著名的Lagrange四平方定理表明當k = 2且s=4時方程可解.一般的Waring問題是尋找最小的s0=s(k)使得當s≥s(k)時方程可解.Vaughan和Wooley在[63]中給了 Waring問題很好的研究綜述.最近Bourgain,Demeter和Guth[6]以及Wooley[65]分別解決了Vinogradov中值定理中的主要猜想,很好地改進了 Waring問題的相應結(jié)果.Waring-Goldbach 問題研究N = p1k+p2k+ … +pks.(0.2)的可表性.這里Pi是素數(shù).特別地,當k = 1且s = 2時,這是偶數(shù)Goldbach猜想,即每個大于等于6的偶數(shù)可表為兩個素數(shù)之和;當k = 1且s = 3時,這是奇數(shù)Goldbach猜想,即每個大于等于9的奇數(shù)可表為三個素數(shù)之和.1937年,Vinogradov[64]證明了每個充分大的奇數(shù)N都可以寫成三個素數(shù)的和.2013年,Helfgott[29,30]徹底解決了奇數(shù)Goldbach猜想.關(guān)于偶數(shù)Goldbach猜想,目前最好的結(jié)果是陳景潤的{1,2}(見[9]),即任何一個充分大的偶數(shù)可以表示為一個素數(shù)與一個至多有兩個素因子的整數(shù)的和.對于非線性Waring-Goldbach問題,即k≥2 2的情形,華羅庚[32]證明了當s≥2k+1時,對所有滿足一定同余條件的充分大的整數(shù)N方程(0.2)可解.之后許多學者研究了這個問題并且得到了豐富的結(jié)果(見[28,32,33,52,53,60,68]).此外,許多數(shù)學家還考慮了在問題(0.2)中對素數(shù)進行更多限制的可表性問題,例如參見[21,44,45,62].1933年,Segal[54,55]考慮了分數(shù)次冪的堆壘問題,研究了不等式|x1c+x2c...+xsc-N|ε(0.3)以及方程[x1c]+[x2x]+ …+[xsc]= N(0.4)的可解性.其中c是大于1的非整數(shù),[x]表示x的整數(shù)部分.Segal證明了存在s0(c)使得當s ≥ s0(c)時,上面兩個式子對所有充分大的整數(shù)N都有解.Deshouillers[14]和 Arkhipov,Zhitkov[1]改進了 Segal 在問題(0.4)上的結(jié)果.Piatetski-Shapiro[49]則考慮了在(0.3)中將x1,x2,...,xs限制到素數(shù)的情形.如果用H(c)表示對固定的s0,(0.3)對所有充分大的整數(shù)N都可解的最小整數(shù)s.他證明了lim sup H(c)/clog c≤ 4.c→∞此外,Piatetski-Shapiro 還證明了當 1c3/2時H(c)≤ 5.之后許多數(shù)學家考慮了 s = 3和s = 5的特殊情形,給出了許多結(jié)果,例如可參見[2,3,8,20,36,38,41,58,61,66,67].本文研究當1c2時,方程N =[n1x]+[n2c](0.5)對充分大的N的可解性.對于這一問題,Deshouillers[15]證明了當1c4/3時,每個充分大的正整數(shù)N都可以表示為形式(0.5).Gritsenko[24]和Konyagin[35]分別擴大了(0.5)中c的范圍.特別地,后者給出1c3/2.注意到當變量為素數(shù)時,這個問題甚至比Goldbach猜想更難.在[4]中,Balanzario,Garaev和Zuazua研究了(0.5)中一個變量取為素數(shù)的情形,即N=[nc]+[pc],(0.6)其中n是正整數(shù),p是素數(shù).他們證明了當1c17/11時,這個混合型問題對幾乎所有的正整數(shù)N都有解.Kumchev[37]證明了當1c15/14時,每個充分大的整數(shù)N都可以表示為形式(0.6).本文首先考慮在問題(0.6)中用石榴數(shù)替換素數(shù)p的問題,即N =[nc]+[mc].(0.7)其中m是石榴數(shù),即m是最大素因子P(m)≤ y且y ≥ 2的整數(shù).我們有如下定理.定理1 當θ4.5并且1c(12 + 9(1-1/θ))/19時,每個充分大的整數(shù)N都可以表示為形式(0.7),其中n是正整數(shù),m是滿足最大素因子P(m)≤y且y ≥(log N)θ 的石榴數(shù).我們知道在Goldbach問題的研究中,有一類非常重要的結(jié)果是研究例外集的大小E(X)的估計.這里E(X)表示不超過X且不能表示為兩個素數(shù)之和的偶數(shù)的個數(shù).Chudakov[11],van der Corput[13]以及 Estermann[19]分別獨立地證明了對任意A0,有E(X)《Xlog-A X.Montgomery和Vaughan[48]證明了存在一個絕對常數(shù)δ0使得E(X)X1-δ.陳景潤和潘承洞[10]首次給出了 δ = 0.01,即E(X)X0.99.李紅澤[42]給出E(X)X0.914.[43]中給出E(X)X0.879.目前最好的結(jié)果是[50]中E(X)X0.72.本文考慮的另一個問題是與例外集有關(guān)的問題,即研究N=[p1c]+[p2c](0.8)的例外集估計,其中P1,p2是素數(shù).在[40]中,Laporta證明了當1c17/16時,存在B0使得Ec(X)Xexp(-B(log X)1/3-ε),其中Ec(X)是不超過X且不能表示為形式(0.8)的正整數(shù)的個數(shù).我們將給出更小的例外集,我們的結(jié)果改進了 Laporta的結(jié)果.定理2 當1c24/23時,我們有Ec(X)X1-(24γ-23)/18+ε,其中γ=1/c.
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O156

【參考文獻】

相關(guān)期刊論文 前5條

1 ;On exponential sums over primes and application in Waring-Goldbach problem[J];Science in China,Ser.A;2005年06期

2 翟文廣,曹曉東;一個素變數(shù)丟番圖方程[J];數(shù)學學報;2002年03期

3 蔡迎春;一個素變數(shù)的Diophantine不等式(Ⅲ)[J];數(shù)學學報;1999年01期

4 陳景潤,潘承洞;THE EXCEPTIONAL SET OF GOLDBACHNUMBER (Ⅰ)[J];Science in China,Ser.A;1980年04期

5 陳景潤;ON THE REPRESENTATION OF A LARGER EVEN INTEGER AS THE SUM OF A PRIME AND THE PRODUCT OF AT MOST TWO PRIMES[J];Science in China,Ser.A;1973年02期

本文編號：2758175