【摘要】：基于Galerkin框架和正交多項(xiàng)式的優(yōu)勢(shì),譜與譜元方法被廣泛應(yīng)用于求解具有高正則性解的微分方程。然而在許多科學(xué)計(jì)算問題中,方程本身及其真解往往具有一定的奇性,從而限制了譜方法的實(shí)際應(yīng)用效果。為了恢復(fù)譜方法處理奇性問題的高效性,我們需要根據(jù)實(shí)際問題設(shè)計(jì)完全克服方程及其真解奇性的譜方法。本文針對(duì)反冪勢(shì)薛定諤方程和分?jǐn)?shù)階Laplace方程這兩類極具代表性的難點(diǎn)奇性問題,開展具有指數(shù)收斂階的高效譜與譜元方法研究,主要內(nèi)容包括:(1)提出任意維球體與任意多邊形區(qū)域上反冪勢(shì)薛定諤方程特征值問題的高效譜與譜元方法。對(duì)含反位勢(shì)的薛定諤特征值問題-△u+c2"#x"#-2u+γ"#x"#-1u=λu,我們首先在任意維球上構(gòu)造貼合特征函數(shù)奇性的Sobolev正交函數(shù)系,并設(shè)計(jì)新型譜方法的數(shù)值格式和算法。在此基礎(chǔ)上,我們提出了任意多邊形區(qū)域上該問題的譜元方法:以奇點(diǎn)為中心劃出一個(gè)適當(dāng)大小的圓盤,圓內(nèi)采用能貼合奇性的非多項(xiàng)式Sobolev基函數(shù)譜方法,圓外采用(曲邊)四邊形或者(曲邊)三角形網(wǎng)格與C0-協(xié)調(diào)譜元,圓盤內(nèi)外單元之間通過mortar元或其他非協(xié)調(diào)元方法進(jìn)行信息交換。針對(duì)含反立方勢(shì)的薛定諤特征值問題-△u+c32"#x"#-3u+c22"#x"#-2u+c12"#x"#-1u=λu,我們?cè)O(shè)計(jì)了類似于含反位勢(shì)的薛定諤特征值問題的新型高效譜方法。最后,本文將反冪勢(shì)方程譜方法運(yùn)用到矩形區(qū)域上燃料電池?cái)?shù)學(xué)模型特征值問題-(?)2/(?)x2u-1/x2(?)2/(?)y2=λu的數(shù)值求解中。以上問題的譜方法均取得了指數(shù)階的收斂速度。(2)提出任意維全空間上反冪勢(shì)薛定諤方程的新型譜方法。以逆平方勢(shì)薛定諤方程為例,從算法設(shè)計(jì)、數(shù)值實(shí)驗(yàn)和理論分析上全面探討了全空間上反冪勢(shì)薛定諤方程特征值問題與具有rα型奇異解的薛定諤方程源問題的譜方法。為此,我們定義了關(guān)于Muntz級(jí)數(shù){αn}的Muntz-Hermite函數(shù)Lkαn(r2)e-r2/2αn+1-d/2Yn(?)(ξ),并針對(duì)特征值問題和源問題分別選擇合適的Muntz級(jí)數(shù)構(gòu)造基函數(shù),在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)Galerkin譜逼近格式和算法。得到的離散代數(shù)系統(tǒng)的矩陣具有高度稀疏性,對(duì)源問題來說右端項(xiàng)積分還可以通過快速Fourier算法來計(jì)算。我們給出了特征值問題中數(shù)值特征值和特征函數(shù)的最優(yōu)誤差估計(jì)以及源問題中Galerkin譜方法的數(shù)值解逼近真解的收斂性分析,數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的正確性。(3)提出并研究了任意維球上分?jǐn)?shù)階Laplace方程的高效譜方法。采用球調(diào)和函數(shù)和Jacobi多項(xiàng)式構(gòu)造球正交多項(xiàng)式/函數(shù)作為分?jǐn)?shù)階Laplace方程的高效基函數(shù),并在對(duì)稱變分形式的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)相應(yīng)的Galerkin譜方法逼近格式與求解算法。在數(shù)值分析方面,我們給出了分?jǐn)?shù)階Laplace方程特征值問題中數(shù)值特征值的上下確界估計(jì)、特征函數(shù)的誤差估計(jì)和代數(shù)特征系統(tǒng)矩陣條件數(shù)的緊致估計(jì)以及源問題中解的正則性分析。發(fā)展了球正交多項(xiàng)式逼近理論,并應(yīng)用該逼近理論證明了分?jǐn)?shù)階Laplace方程的收斂性分析。
【學(xué)位授予單位】：中國(guó)工程物理研究院
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O241.82
【圖文】：

３．１．３數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果逡逑這一部分我們給出利用上述小節(jié)提出的譜方法求解球上的特征值問題（３－３）逡逑的數(shù)值結(jié)果。圖３．１和圖３．２分別是二維和三維情況下參數(shù)0和７設(shè)置相同時(shí)前五個(gè)逡逑最小特征值的逼近誤差丨｜隨冗的變化情況，圖中曲線表明數(shù)值解呈指逡逑數(shù)階收斂。事實(shí)上，該方法最初是由文獻(xiàn)［６３］為求解逆平方勢(shì)薛定諤方程特征值逡逑問題而提出的。之所以同樣適用于含＃勢(shì)的逆平方勢(shì)薛定諤特征值問題，是因?yàn)殄义虾停蹋幔穑欤幔悖逅阕佑邢嗤嫘噪A的逆平方勢(shì)比＾勢(shì)奇性強(qiáng)。逡逑圖３．１和圖３．２中，（ａ）圖和（ｃ）圖對(duì)應(yīng)相同的參數(shù)７不同的參數(shù)ｃ，（ｂ）圖和（ｄ）圖亦是，逡逑我們可以看到，數(shù)值特征值逼近參考特征值的收斂速率幾乎和問題（３－３）中的常系逡逑數(shù)ｃ無關(guān)。這是因?yàn)橥ㄟ^把Ｃ作為構(gòu)成基函數(shù)的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，自然地把Ｌａｐｌａｃｅ算逡逑子和逆平方勢(shì)作為一個(gè)整體看待，這樣基函數(shù)隨ｃ的變化能很好地捕捉特征函數(shù)逡逑２２逡逑

（ｃ）邋ｃ邋＝邋１／２，７＝１．邐（ｄ）邋ｃ邋＝邋１／２，７邋＝邋１０．逡逑圖３．１ｄ邋＝邋２時(shí)，半對(duì)數(shù)坐標(biāo)下，前五個(gè)最小特征值的逼近誤差｜＼－入太，＾｜隨允的變化曲線．逡逑３．２球上反立方勢(shì)薛定諤方程特征值問題的譜方法逡逑３．２．１問題描述逡逑我們考慮定義在球上的超奇異勢(shì)薛定諤特征值問題：逡逑｛（ｐ１逡逑—＾邋ｕ邋＋邋－￣ｔ＾ｕ邋＋邋７＾７＾邋￣邋＾＾５邋ｉｎ邋ＩＢ＾，逡逑ｋｒ邋Ｆｌ２邋Ｍ邐（３－ｉ0）逡逑ｕ（ｘ）邋＝邋０，邐ｏｎ邋§＾＿１，逡逑其中，常數(shù)邋Ｑ２０，ｉ邋＝邋ｌ，２，ｃ３＞０．逡逑定義Ｓｏｂｏｌｅｖ空間如下：逡逑＾（Ｂ＾）邋＝邋＾（Ｂ＾）邋ｎ邋Ｌ２ｒｓ｛Ｂｄ），邋Ｗ＾ｃｆｉ（Ｍｄ）邋＝邋｛ｕｅ邋Ｗｌｃ｛Ｍｄ）邋：ｕ邋＝邋０ｏｎ邋Ｓ＾１｝，逡逑其范數(shù)定義為逡逑

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本文編號(hào)：2729296