【摘要】：本篇博士論文主要研究隨機偏微分方程的模型約化方法,旨在提高數(shù)值模擬的效率。在伽遼金投影的框架下,采用一些降維技術(shù)來構(gòu)造降階模型。在盡量維持精度的情況下,盡量減少計算成本。模型輸入量的變量分離表達式是實現(xiàn)離線在線計算分離的關(guān)鍵,把模型輸出量表示為變量分離形式可以極大地提高計算效率,有利于分析不確定性信息的傳播和提高相關(guān)反問題的計算效率。為了高效地構(gòu)造模型輸入量和輸出量的變量分離表達式,本文首先引入兩種方法:基于樣本的最小二乘方法和基于正交匹配的稀疏張量逼近法。假設(shè)G(x,ξ)是一個多變量函數(shù)(可以表示模型輸入量或輸出量)。我們試圖在一個有限維空間中構(gòu)造G(x,ξ)的可分的(即:G(x,ξ)≈G_N(x,ξ):=∑_(i=1)~Nζ_i(ξ)g_i(x))近似替代模型。假設(shè)ζ(ξ)是一個高維的隨機函數(shù),該部分還介紹了一種稀疏低秩張量逼近方法來構(gòu)造其近似表達式。我們試圖在有限維張量空間中通過求解一系列的稀疏秩一逼近問題求得ζ(ξ)的稀疏低秩表達式。其次,本文提出了一種新穎的變量分離方法(NVS)。首先對于多變量函數(shù)介紹了NVS的主要思想,該方法可用于求得模型輸入量的變量分離表達式。并把NVS的思想推廣到一般隨機問題中,首先考慮含有高維隨機參數(shù)的偏微分方程,NVS方法以一種迭代的方式求得所研究方程的變量分離的解,與那些已經(jīng)被廣泛應(yīng)用的變量分離的方法相比較,本文提出的NVS方法擁有計算復雜度低和效率高的優(yōu)勢。在物理科學與工程應(yīng)用中,許多模型可以轉(zhuǎn)化鞍點問題來求解,比如達西流問題、最優(yōu)控制問題以及斯托克斯問題。為了高效地模擬這一類問題,我們把NVS方法進一步推廣到含有高位隨機參數(shù)的鞍點問題。由于降維空間也要滿足inf-sup條件,所以簡單的類推并不能得到收斂的替代模型,就此問題我們提出兩種解決方案:第一種方案,在每一步迭代中對系統(tǒng)的初始變量增加額外的基函數(shù);另一種方案就是先把初始的鞍點問題進行正則化,然后將NVS方法用于正則化的系統(tǒng),進而得到方程解的變量分離的近似解,這樣可以減少分離的項數(shù),從而進一步提高了在線計算的效率。最后,本節(jié)針對復雜隨機多孔介質(zhì)模型,提出兩種混合多尺度約化方法。含有隨機參數(shù)的非均質(zhì)多孔介質(zhì)中流體問題的模擬是隨機偏微分方程的一種典型的應(yīng)用。對于含有多尺度特征的流體問題,混合廣義多尺度有限元方法(GMsFE)可以在粗網(wǎng)格上精確求解,并可以同時得到滿足局部質(zhì)量守恒的流體速度的數(shù)值解。當介質(zhì)中含有參數(shù)化的隨機變量時,廣義多尺度有限元基函數(shù)通常會依賴于隨機參數(shù),從而會大大影響計算效率。為了克服這個困難,提出兩種混合廣義多尺度有限元基函數(shù)約化方法,這種方法得到的多尺度基函數(shù)不依賴于隨機參數(shù),從而可以得到一個與隨機參數(shù)無關(guān)的低維的多尺度求解空間。為此,我們先用貪婪算法在一個較大的參數(shù)集合中選取少量的優(yōu)化的參數(shù)樣本,組成集合Ξ_(op);基于樣本集合Ξ_(op),我們通過兩種優(yōu)化取樣策略:基于基函數(shù)的交叉驗證方法和合適正交分解來構(gòu)造混合GMsFE約化基函數(shù)。
【學位授予單位】：湖南大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O211.63

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本文編號：2717967