【摘要】：圖上的分析作為非局部分析的最基本情形之一近期成為研究熱點.本論文研究帶權(quán)重圖上泛函不等式的若干基本問題.我們在帶權(quán)重圖和其連續(xù)模型——度量圖上系統(tǒng)引入幾何不等式和泛函不等式,并研究了兩類不等式的內(nèi)在聯(lián)系.這部分工作主要是基于Maz'ya[1]在光滑情形的經(jīng)典理論,并大大推廣了 Keller等人[2]關(guān)于帶權(quán)重圖的Cheeger不等式的工作.這里的創(chuàng)新點主要在于方法,我們先在度量圖上證明主要結(jié)果,再利用調(diào)和延拓的想法將它們遷移到帶權(quán)重圖上.我們處理的另一個基本問題是有限支撐函數(shù)在帶權(quán)重圖上Sobolev空間中的稠密性.主要判據(jù)依賴于帶權(quán)重圖在合適距離下的Cauchy邊界的容度.這部分工作將Huang等人[3]在L2-Sobolev空間情形的結(jié)果推廣到一般的Lp-Sobolev空間.下面是各章的主要內(nèi)容.第一章介紹研究背景和意義,并總結(jié)了本文主要結(jié)果.帶權(quán)重圖和度量圖的概念在第二章引入.帶權(quán)重圖上的輔助權(quán)重及其誘導(dǎo)出的最短路徑距離是本章的關(guān)鍵概念.在此基礎(chǔ)上,我們在兩類空間上引入了合適的距離結(jié)構(gòu),并定義了函數(shù)的能量泛函.在第三、四章中我們主要考慮無窮圖.我們分別引入了 Cheeger常數(shù)、廣義Cheeger常數(shù),并考慮了它們與一般的(q,p)型Sobolev不等式的關(guān)系.類比于經(jīng)典理論,我們證明Sobolev不等式和等容度不等式的等價關(guān)系.這里最重要的工具是第三章證明的電導(dǎo)不等式.第五章轉(zhuǎn)而考慮有限圖情形.我們研究了(q,p)型Poincare不等式與相應(yīng)的廣義Cheeger常數(shù)、等容度常數(shù)的關(guān)系.考慮一個帶有輔助權(quán)重的圖.在最后一章中,假設(shè)圖的Cauchy邊界容度有限,我們證明了有限支撐函數(shù)在Sobolev空間中稠密當(dāng)且僅當(dāng)邊界容度為0.
【學(xué)位授予單位】：南京信息工程大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O157.5

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本文編號：2702431