【摘要】：非線性偏微分方程是現(xiàn)階段數(shù)學(xué)學(xué)科中的一個(gè)不可或缺的分支,它幾乎涉及到自然社會科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域.對非線性現(xiàn)象的研究,常常被研究者們歸結(jié)為求解非線性偏微分方程(組)的問題.但到目前為止,對于求非線性偏微分方程的精確解的問題,尚未存在一種統(tǒng)一的方法.因此,繼續(xù)尋找有效可行的求解非線性偏微分方程方法,仍然是一項(xiàng)十分重要又有意義的工作.在本文中,我們分別運(yùn)用動力系統(tǒng)和首次積分法兩種方法,求廣義帶導(dǎo)數(shù)的非線性Schrodinger方程(GDNLSE)以及含任意次非線性項(xiàng)的廣義Davey-Stewartson(DS)方程的精確行波解.利用動力系統(tǒng)方法,首先,引入相應(yīng)的行波變換,將偏微分方程化為常微分方程,其等價(jià)于一個(gè)平面動力系統(tǒng).其次,利用Maple軟件,結(jié)合常微分方程定性理論,畫出相圖并根據(jù)參數(shù)空間分析相圖的動力學(xué)性質(zhì);最后,基于相圖中的軌道,借助Maple軟件計(jì)算得出方程的精確解.利用首次積分法,根據(jù)多項(xiàng)式整除定理分情況討論參數(shù)空間,借助Maple軟件求得方程的精確解.參考前人用其他方法求得的解與本文所得到的解進(jìn)行對比,證明本文所得的精確解推廣、擴(kuò)充和豐富了已有的結(jié)果.通過研究,我們得到了孤立波解、周期波解、扭結(jié)波解及反扭結(jié)波解等.它們由三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、雅可比橢圓函數(shù)和雙曲函數(shù)等表示.從得到的精確解的結(jié)果上看,動力系統(tǒng)方法和首次積分法得到的結(jié)果都比較豐富;從求解過程來看,動力系統(tǒng)方法直接、簡單、有效,而首次積分法也顯示了求解非線性偏微分方程的有效性.
【圖文】：

若■／＞邋０且（ｆｒａｃｅＭ）２邋－邋４７邋＜０（＞邋０），那么該奇點(diǎn)為中心（結(jié)點(diǎn)）？逡逑下面，我們進(jìn)行參數(shù)空間的劃分，用雅克比行列式判斷奇點(diǎn)類型，并對應(yīng)于逡逑不同的參數(shù)空間，利用數(shù)學(xué)軟件Ｍａｐｌｅ畫出相圖，如圖３．１．從圖中可以看出：逡逑情況１：邋＾４邋＞邋０，邋Ｓ邋＜邋０，邋Ｃ邋＞邋０時(shí)，如圖３．１（ａ），系統(tǒng)（３．２．５）存在五個(gè)奇點(diǎn)，其逡逑中五（０，０）是鞍點(diǎn)，Ｅ（也，２，０）是鞍點(diǎn)，五（也．４，０）是中心．逡逑情況２：義＞邋０，，邋Ｃ邋＜邋０時(shí)，如圖３．ｌ（ｂ，ｃ），系統(tǒng)（３．２．５）存在三個(gè)奇點(diǎn)，其逡逑中五（０，０）是中心，五（和，２，0）是鞍點(diǎn)．逡逑情況３：邋Ａ邋＜邋０，Ｃ邋＞邋０時(shí)，如圖３．１（ｄ，ｆ），系統(tǒng)（３．２．５）存在三個(gè)奇點(diǎn)，其逡逑中Ｅ（０，０）是鞍點(diǎn)，Ｅ（０３，４：0）是中心．逡逑情況４：邋４邋＜邋０，邋５邋＞邋０，邋Ｃ邋＜邋０時(shí)，如圖３．１（ｆ），系統(tǒng)（３．２．５）存在五個(gè)奇點(diǎn)，其逡逑中取０

我們?nèi)《ǎ徨澹藉澹掊澹缅澹煎澹�，進(jìn)行參數(shù)空間的劃分，那么，相圖軌線的變逡逑化僅依賴于參數(shù)對（ＡＳ）的變化．用雅克比行列式判斷奇點(diǎn)類型，并對應(yīng)于不同逡逑的參數(shù)空間，利用Ｍａｐｌｅ軟件畫出相圖，如圖４．１．（當(dāng)然，當(dāng)ａ邋＃邐0邋０時(shí)的情逡逑況也可以類似的進(jìn)行分析，在這里，僅對ａ邋＝邋Ｃ邋＜邋０的情況進(jìn)行詳細(xì)介紹）．從逡逑圖４．１中可以看出：逡逑嫇逡逑⑷邋＞４邋＞邋０，邋Ｓ邋＞邋０邐（ｂ）邋Ａ邋＞邋０，邋＞１邋＜邋０，邋Ｂ邋＞邋０邐（ｃ）邋Ａ邋＝邋０，邋Ａ邋＜邋０，邋Ｂ邋＞邋０逡逑＿＿邋＿逡逑－０－８－１邋、？－－Ｖ邋一，’逡逑（ｄ）邋△邋＜邋０，邋NB邋＜邋０邐（ｅ）邋Ａ邋＝邋０，邋Ａ邋＜邋０，邋Ｂ邋＜邋０邋（ｆ）邋Ａ邋＞邋０，邋＾邋＜邋０，邋＜邋０逡逑ＶＬＩ逡逑（ｇ）邋＾＞０，Ｂ＜０逡逑圖４．１系統(tǒng)（４．２．５）的相圖逡逑３１逡逑
【學(xué)位授予單位】：云南財(cái)經(jīng)大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O175.29

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號：2700511