【摘要】：局部單葉的解析函數(shù)的對數(shù)導數(shù)和Schwarz導數(shù)都是單復變幾何函數(shù)論的重要研究對象,在擬共形Teichmuller理論和復動力系統(tǒng)中都有重要應用.本世紀以來,局部單葉調和函數(shù)的Schwarz導數(shù)與低維流形的幾何與拓撲性質的關系,已成為單復變幾何函數(shù)論的研究熱點之一,許多學者給出了相關定義并進行了相應的研究,并且得到了很多好的研究結果.本文重新定義了平面調和映照的對數(shù)導數(shù)和Schwarz導數(shù),并研究了調和映照新的對數(shù)導數(shù)和Schwarz導數(shù)的一些性質.對于這重新定義的平面調和映照的對數(shù)導數(shù),主要討論了它與John區(qū)域之間的一些關系,并且給出了利用平面調和映照的對數(shù)導數(shù)判定徑向John區(qū)域的兩個充分條件以及兩個必要條件.至于新定義的平面調和映照的Schwarz導數(shù),除了研究它的性質之外,主要是對單位圓盤到任意正多邊形上的平面調和映照的Schwarz免導數(shù)的范數(shù)進行估計.本文共分三章:第一章,緒論.在第一小節(jié),我們先介紹Schwarz導數(shù)的發(fā)展歷程,然后介紹了平面調和映照的Schwarz導數(shù)的兩種定義.起初,Chuaqui,Duren和Osgood給出了一種平面調和映照的Schwarz導數(shù)定義.這種定義要求調和映照的伸縮商為解析函數(shù),但是這種定義保證了對應的高斯曲率小于等于零,這就保證了該調和映照可以提升至極小曲面上去.后來,Hernandez和Martin利用雅可比行列式給出了另一種平面調和映照的Schwarz導數(shù)定義.這種定義不要求伸縮商為解析函數(shù),但是對應的高斯曲率大于等于零,這就不能保證該調和映照可以提升到極小曲面上去.在第三章,我們給出了平面調和映照的新的Schwarz導數(shù)定義,新定義的Schwarz導數(shù)也不要求伸縮商為解析函數(shù),但是對應的高斯曲率小于等于零,這就保證了對應的調和映照可以提升至極小曲面.在這一章第二三小節(jié),我們主要分別介紹了解析函數(shù)的Schwarz和對數(shù)導數(shù),及其基本性質和相關結論.第二章,平面調和映照的對數(shù)導數(shù)及其范數(shù).在這一章中,首先介紹了平面調和映照的新的對數(shù)導數(shù)的定義,即Pf=Ph+ωω'/1+|ω|2,其中,Ph為解析函數(shù)h的對數(shù)導數(shù).其次,研究了平面調和映照的對數(shù)導數(shù)的性質并且對它的范數(shù)進行估計.此外,研究了新定義的對數(shù)導數(shù)的一些應用,以及John區(qū)域的一些基本性質和理論,并利用對數(shù)導數(shù)給出判定John區(qū)域的兩個充分條件與兩個必要條件.第三章,平面調和映照的Schwarz導數(shù)及其范數(shù).在這一章中,給出了平面調和映照的新的Schwarz導數(shù)與范數(shù)的定義,即:Sf=Sh+ω/1+|ω|2(ω"-ω'h"/h')-3/2(ω'ω/1+|ω|2)2,其中Sh為解析函數(shù)h導數(shù)定義,ω為調和映照f的伸縮商.討論了關于這個新的Schwarz導數(shù)和范數(shù)的一些性質.最后證明了單位圓盤到任意正多邊形上的平面調和映照的Schwarz導數(shù)的范數(shù)||Sf||≤8/3.
【學位授予單位】：江西師范大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O174.5

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本文編號：2692461