【摘要】：借助E.C.Dade和M.Loukaki在2004年創(chuàng)立的特征標線性極限的理論和技術,本文主要研究了下述關于M-群的三個著名難題:1.Dornhoff的正規(guī)單項性猜想:任意M-群的正規(guī)子群是否總是M-群;2.Dornhoff的Hall單項性猜想:任意M-群的Hall子群是否總是M-群;3.Lewis的本原特征標次數(shù)問題:M-群的極大子群的指數(shù)如何控制該子群的本原特征標的次數(shù).為了同時處理上述三個難題,我們首先對線性極限的理論做了一些改進,獲得了關于特殊類型的可解群是否為M-群的若干有效判據(jù),并用之來探討上述Dornhoff的兩個單項性猜想和Lewis本原特征標問題.本文第一個主要結果研究了比Sylow塔群更為廣泛的一類可解群,獲得了該類群是否為M-群的有效判別方法,其中M-群的定義是每個子群均為M-群,而L-群的定義以及符號∝均來源于線性極限理論,見$2.1.定理A.設G為有限群,有一個正規(guī)列:1 = G0G1...= G,并滿足以下三個條件:(a)|Gi/Gi-1|兩兩互素,i = 1,...,n;(b)Gi/Gi-1 是 L-群,i = 1,...,n-1;(c)G/Gn-1 是M-群.則以下命題等價:(1)G 為 M-群.(2)Gi∝G,i = 1,...,n.(3)Gn-1∝G.作為應用,本文就該類群證明了 Dornhoff的兩個猜想.定理B.假設定理A的條件成立,并且G為M-群,則下述結論成立.(1)G的每個正規(guī)子群均是M-群.(2)再進一步假設n = 3,即G = G3,并且G1和G2/G1均為冪零群,則G的每個Hall子群也均為M-群.本文第二個主要結果研究了一類可解群的超可解剩余,據(jù)此獲得了一類群何時為M-群的充要條件.定理C.設G為有限群,并假設L≤K均為G的正規(guī)子群,且滿足以下三個條件:(a)G/K超可解,K/L冪零,L有一個正規(guī)列:1-L0≤L1≤...≤Ln = L,使得Li/Li-1,i=1,...,n為階兩兩互素的交換群;(b)(|L|,|K/L|)=1;(c)|KL|與|G/K|至少一個為奇數(shù).則以下三條等價:(1)G 為 M-群.(2)對任意φ ∈ Irr(L),均有G(φ)/L為M-群.(3)K∝G.作為定理C的應用,同樣就此類群我們也考察了 Dornhoff的兩個猜想.定理D.假設定理C的條件成立,若G為M-群,則(1)G的每個正規(guī)子群均為M-群.(2)當L為交換群時,則G的每個Hall子群也均為M-群.本文第三個主要結果仍然是借助于線性極限,考察了 M-群的極大子群的本原特征標,簡化并推廣了 M.L.Lewis定理以及I.M.Isaacs和T.Wilde對該定理的加強.我們給出的推廣還包含了更多的結構信息,特別地,給出M-群存在一個極大子群不是M-群的充分條件.定理E.設G是M-群,則下述成立:(1)如果H是指數(shù)為奇數(shù)的極大子群,且存在非線性的本原特征標ξ∈Irr(H),則ξ(1)2 =|G:H|且ξ是強不可約特征標.(2)G含有一個指數(shù)為奇數(shù)的極大子群,且該子群有非線性的本原特征標,當且僅當G存在一個強單項特征標.應該指出的是,定理中的強不可約特征標的概念是R.Brauer在1977年首次提出的,與特征標的乘法分解理論密切相關,也是值得我們在后續(xù)研究中做進一步深入探討的一類特征標.
【學位授予單位】：山西大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O152.1

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本文編號：2684635