【摘要】：設(shè)μ為Rd上具有緊支撐的Borel概率測(cè)度,我們很自然要問(wèn)這樣一個(gè)問(wèn)題:是否存在Rd上一個(gè)可數(shù)子集Λ使得指數(shù)函數(shù)族E:={e2πiλ,x:λ ∈ 為L(zhǎng)2(μ)的框架/Riesz基/標(biāo)準(zhǔn)正交基?如果存在,則稱μ為框架譜測(cè)度/Riesz譜測(cè)度/正交譜測(cè)度,Λ為μ的框架譜/Riesz譜/正交譜.框架理論與Fourier分析、小波分析、調(diào)和與非調(diào)和分析以及壓縮感知等都有重要聯(lián)系.從1967年以來(lái),人們一直在研究Lebesgue限制在怎樣的集合上為一個(gè)框架譜/Riesz譜/正交譜,其中最為主要的猜想為1976年Fuglede提出的譜集猜想.而B(niǎo)eurling密度從一開(kāi)始就起到了關(guān)鍵的作用.由整擴(kuò)張矩陣A ∈Md(Z)、有限整數(shù)集D={d0= 0,d1,…,dq-1}(?)Zd以及概率向量族{Pk={pk,0,pk,1,...,pk,q-1}}k=1∞生成的概率測(cè)度μ A,D1,{Pk},=δA-1D,P1*δA-2D,P2*δA-3D,P3...稱為Riesz乘積測(cè)度(測(cè)度無(wú)窮卷積收斂是指測(cè)度的弱收斂),很顯然自相似測(cè)度和自仿測(cè)度都是Riesz乘積測(cè)度.本文主要研究此種Riesz乘積測(cè)度的譜性,以及自相似測(cè)度譜的Beurling維數(shù).本文主要分為五章。第一章,主要介紹研究背景和研究動(dòng)機(jī).由于Riesz乘積測(cè)度存在性與測(cè)度的弱收斂有關(guān),所以第二章主要介紹測(cè)度序列收斂性的一些基礎(chǔ)知識(shí).第三章主要介紹一些與后續(xù)章節(jié)相關(guān)的預(yù)備知識(shí).第四章,我們主要研究一般的Riesz乘積測(cè)度μA,D,{Pk}與自仿測(cè)度μA,D之間的譜性關(guān)系.關(guān)于Riesz乘積測(cè)度μA,D,{Pk}的譜性至今沒(méi)有人研究過(guò).我們主要有這樣的結(jié)果:在條件inPk0下,測(cè)度μA,D,{Pk}為框架/Riesz譜測(cè)度當(dāng)且僅當(dāng)μA,D為框架/Riesz譜測(cè)度且{Pk}滿足等價(jià)乘積條件.在特殊情況下,前提假設(shè)條件inf k≥1 Pk-0可以去掉.第五章,我們主要研究自相似測(cè)度框架譜、Bessel譜(即所對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)族為L(zhǎng)2(μ)的Bessel序列)的Beurling維數(shù).關(guān)于Bessel譜A給出其Beurling維數(shù)的上界.對(duì)于一些滿足特定條件的框架譜A給出其Beurling維數(shù)與自相似集(自相似測(cè)度的支撐)的Hausdorff維數(shù)相等的充要條件.
【學(xué)位授予單位】：華中師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O174.12

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本文編號(hào)：2673938