【摘要】：傳統(tǒng)的微積分理論及微積分模型是我們進行理論研究、描述自然現象、指導工業(yè)應用最常用的數學理論與數學模型。我們利用這些模型及其相關的求解方法更好地認識了世界、促進了生產、便利了生活。近年來,一系列研究發(fā)現,經典的數學模型與理論框架在很多問題及現象上并不能給出準確的描述,而這些現象在自然界中隨處可見,如反常超擴散、斷裂問題、記憶與遺傳、有關隨機跳躍的非局部擴散等等。因此,這就需要突破傳統(tǒng)模式的局限來發(fā)展新的數學理論及相關模型。隨著非局部微積分算子及分數階微積分的快速發(fā)展,非局部問題的理論研究及應用得到廣泛關注。而這些非局部模型的產生能夠比較好的模擬這些非局部效應。更重要的是,局部模型可以在形式上作為非局部模型的特殊情況推導得出,因此,非局部模型可看作為局部模型的一種推廣。非局部模型包含的非局部項一般由非局部向量微積分算子、分數階導數、分數階積分等組成。雖然非局部模型的發(fā)展已經比較久遠,但是非局部向量微積分是近幾年才提出的。杜強教授等人[1]在2013年研究帶約束的非局部擴散模型時提出了一系列的非局部向量微積分算子,包含非局部散度算子、非局部梯度算子、非局部旋度算子及其伴隨算子等。而分數階導數與分數階積分的產生和發(fā)展卻經歷了很長一段時間的摸索期。其實,分數階微積分的萌芽與經典的微積分的出現幾乎處于同一時期。但直到數學家歐拉發(fā)現了伽馬函數,其面紗才被慢慢揭開。這期間,數學家Laplace、Riemann、Liouville、Letnikov、Rietz等人均做出 了重要貢獻。目前,比較常用的分數階導數的定義有如下幾種:Caputo導數、Riemann-Liouville導數、Grunwald-Letnikov導數、Caputo-Fabrizio導數等等。目前,比較常見的非局部模型有非局部擴散模型、近場動力學模型、時間分數階擴散模型、空間分數階對流擴散模型、非局部及分數階相場模型等等。如今,非局部理論已經廣泛應用于連續(xù)力學、斷裂力學、量子力學、物理學、材料學、經濟學、圖像處理等許多方面。然而,由于非局部項的影響,導致我們在對非局部模型進行數值模擬時,產生的線性系統(tǒng)往往帶有矩陣稠密的特點。例如,我們在使用有限元方法對近場動力學模型進行離散時,當近場動力學非局部影響域常數δ遠大于剖分細度h時,得到的線性系統(tǒng)的系數矩陣將會是一個幾乎稠密的矩陣,這就導致我們在求解矩陣方程時需要耗費巨大的計算量及存儲量。分數階模型進行數值離散時得到的線性系統(tǒng)也往往具有計算量及存儲量的巨大需求的情況。這就要求我們提出快速求解機制,以應對在計算機內存及計算速度一定的條件下,更快更大規(guī)模地求解線性系統(tǒng),以及時且準確地指導工業(yè)生產。計算速度方面存在的諸多挑戰(zhàn)使得人們不得不考慮快速的求解機制。本文所研究的內容,就將著眼于這方面,致力于尋求合適的數值模擬方法,快速有效地求解數值格式產生的線性系統(tǒng)。我們所研究的方程主要為穩(wěn)態(tài)的近場動力學模型、時間分數階相關模型、分數階相場模型,所采用的數值離散方法主要為有限元方法、有限差分方法。針對快速計算,所采用的方法主要基于快速傅里葉變換方法以降低計算量來快速求解矩陣向量乘。具體地:第一章,我們簡要介紹非局部向量微積分、時間分數階相關模型、相場模型的定義、背景及發(fā)展,以方便后面具體模型的研究。第二章,我們主要考慮穩(wěn)態(tài)的一維近場動力學模型的數值模擬及快速求解。近場動力學模型是由美國Sandia國家實驗室Silling教授在2000年提出的用于研究不連續(xù)長程力時提出的非局部模型[4]。目前,近場動力學模型被成功應用于不同材料和結構靜力學與動力學模擬及斷裂、破壞及失效分析。考慮近場動力學影響域常數δ帶來的非局部特性,使得數值算法帶來的巨大的計算量及存儲量成為近場動力學模型數值算法的瓶頸。因此,我們提出了快速Galerkin及hp-Galerkin有限元方法以快速求解這一模型。首先,針對連續(xù)的近場動力學模型,我們使用一種快速的計算機制去計算Lagrange元分別為分片一次元、分片二次元、分片三次元的Galerkin方法產生的線性系統(tǒng)。這種快速計算的機制是基于快速傅里葉變換方法降低矩陣向量乘的計算量。通過計算量及存儲量分析,快速算法將使得求解矩陣方程由所需的O(N3)的計算量降為O(Nlog2N),同時,將存儲量由O(N2)降為O(N),其中N為空間剖分份數。其次,考慮到近場動力學模型以積分代替微分,因此允許模型的解存在間斷點,這樣模型便可以用來處理斷裂問題。因此,針對含有間斷點的近場動力學模型,我們首先給出快速的分片常數有限元方法,在此基礎上,我們使用h-及p-加密算法,我們提出了快速分片常數/分片一次Galerkin及分片常數/分片二次Galerkin方法。最后,我們給出數值算例驗證我們快速算法的正確性及有效性。第三章,我們考慮帶有Caputo分數階導數的時間分數階常微及偏微分方程的數值離散格式及其導出的線性系統(tǒng)的快速算法。空間分數階模型的快速算法一般利用系數矩陣的Toeplitz性質,使用快速傅里葉變換方法降低計算量及存儲量。而時間分數階方程導出的線性系統(tǒng)使用快速算法的難點在于,其系數矩陣雖為稀疏矩陣,但在求解過程中,求解新的時間層均需要所有舊層的值,這使得其整體的計算量及存儲量同樣花費巨大。更重要的是,由于系數矩陣并無Toeplitz性質,直接使用快速傅里葉變換的方法失效。因此,時間分數階方程的快速算法實現發(fā)展并沒有空間分數階方程的快速算法那樣完善。我們考慮不同的機制以求獲取快速求解方法。首先,考慮一系列的有限差分方法求解時間分數階方程初邊值問題。由此導出的線性系統(tǒng)我們考慮相應的快速算法。這種快速算法是基于快速傅里葉變換實現。針對分數階雙邊常微分方程的快速實現,快速算法使得求解的計算量由所需的O(N3)降為O(NMog2N),存儲量由O(N2)降為O(N),這里N為剖分份數。針對時間分數階對流方程的快速差分方法,計算求解線性系統(tǒng)時,我們改變時空求解順序,不按時間層求解,而用空間點順序求解,這樣的求解方式將稀疏的系數矩陣轉變?yōu)門oeplitz滿矩陣,而不用按照時間層存儲。將計算量將O(N2M)降為O(MNlog2N),存儲量由O(NM)降為O(N),這里N=τ-1,τ為時間剖分長度,M=h-1,h為空間剖分細度。針對經典的時間分數階擴散模型,考慮使用經典的L1離散有限差分格式及初值不光滑時的有限元格式,我們考慮所有時間層的一次性求解,并且改變近似解求解順序,將快速傅里葉變換成功應用于矩陣向量乘,將所需計算量由之前的O(MN2)降為O(MNMog2N),而沒有改變存儲量。除此之外,我們考慮時間分數階Cable方程的有限差分緊格式,給出格式的穩(wěn)定性及收斂性分析,并針對格式導出的線性系統(tǒng),構造并實現了快速算法。我們最后給出足夠的算例證明理論分析的正確性。第四章,我們考慮非局部相場模型的無條件能量穩(wěn)定性格式,并考慮快速算法實現。相場模型最初是為了繞開凝固組織模擬中追蹤液固界面的困難提出的,目前在數學、力學、材料學等領域均有快速發(fā)展,已經成功應用于處理多種情境下的不可壓縮兩相流等問題。最近,非局部相場模型如帶空間非局部算子的Cahn-Hilliard模型[84]、空間分數階Cahn-Hilliard模型[85]、時空分數階Allen-Cahn模型[86]、時間分數階Cahn-Hilliard模型[87,88]等等已經吸引了越來越多人的興趣,并且已經應用到設計物理學、材料學、經濟學、圖像處理等很多方面。本章主要考慮帶有一般非線性項的非局部Cahn-Hilliard方程的精確、有效的線性算法的構造,并嚴格地證明其半離散格式的無條件能量穩(wěn)定性。我們構造和分析了線性的一階、二階(在時間方向上)標量輔助變量(scalar auxiliary variable:SAV)方法,建立了無條件的能量穩(wěn)定格式。此外,考慮到求解非局部模型產生的線性系統(tǒng)的巨大計算工作和內存需求,我們分析了剛度矩陣的結構,并尋求一些有效的快速計算方法來減少計算工作量和內存需求。通過引入四個轉換算子A1,A2,A3,A4,我們可將線性系統(tǒng)的系數矩陣轉換為block-Toeplitz-Toeplitz-block(BTTB)矩陣。于是,一個基于快速傅里葉變換的機制便可以快速求解帶有BTTB型系數矩陣的新的線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的整體計算量的花費將會是O(Nlog2N),其中N為未知量的數量。而直接使用高斯消去法求解線性系統(tǒng)的計算量將會是O(N3)。除此之外,由于N × N BTTB矩陣的存儲只需花費O(N),而不做變換之前,存儲系數矩陣需要花費的存儲量將會是O(N2)。最后,我們針對各種二維模型進行了數值模擬的驗證,證明了所提出格式的準確性和有效性。第五章,我們考慮時間分數階相場模型的無條件能量穩(wěn)定性格式。我們主要研究兩類經典的相場模型添加Caputo時間分數階導數,即時間分數階Cahn-Hilliard與時間分數階Allen-Cahn模型。針對帶有非線性項及分數階時間項的這兩類模型,我們主要考慮正確有效的線性算法,并嚴格證明模型的能量穩(wěn)定性及半離散數值格式的能量穩(wěn)定性。我們考慮相場模型的數值格式時,最重要的一點就是要保持格式的能量穩(wěn)定,使得能量穩(wěn)定性與時間空間離散時網格剖分的粗細無關。優(yōu)先考慮能量穩(wěn)定的特性的原因不僅僅是因為格式需要在長時間模擬求解時仍保持正確性,還使其能應用于更加復雜的特殊問題。而且,如果格式不滿足能量耗散屬性,可能使得在網格或者時間步不嚴格控制的情況下,導致錯誤的離散估計。然而,考慮到兩相之間的邊界很薄,針對帶有非線性項的相場模型如Cahn-Hilliard及Allen-Cahn模型,要得到保持能量穩(wěn)定的離散格式往往比較困難。需要特別指出的是,針對時間分數階Cahn-Hilliard及時間分數階Allen-Cahn模型,無論其模型的能量穩(wěn)定性還是相關數值格式的能量穩(wěn)定性,目前均少有文章給予證明。這其中主要的困難在于,由于分數階導數的存在,會出現一系列的與時間有關的干擾項。通過考慮模型的等價形式以及重新考慮時間分數階離散的數值微分格式的系數的特性,我們成功證明了這兩類分數階模型及其離散格式的無條件能量穩(wěn)定性。處理非線性項的穩(wěn)定子方法及最近新發(fā)展的SAV方法被成功應用到我們的無條件穩(wěn)定格式中。最后,我們考慮二維及三維數值模擬來驗證我們格式的正確性及有效性。
【圖文】：

＋７７－＾—邋Ｕｘ邋－邋ｘ）２＿ｓ邋—邋２ｘ２￣ｓ邋－邋（１邋－邋＾）２＿ｓ）邋，，邋Ｘ邋Ｅ邋｛ｘ，邋１）．逡逑我們使用一致的剖分網格，且采用／ｉ＝邋１／３０來檢測分片線性有限元離散。從逡逑圖２．１及表２．１可以看出，若５為剖分節(jié)點之一，則相應的誤差與光滑解一致。而逡逑如果Ｊ坐落于區(qū)間內，其誤差階將不再保持，可見圖２．２及表２．２。間斷點與剖分的逡逑相應關系，會嚴重影響有限元離散的收斂行為。而我們針對真解間斷點與右端逡逑項６（０；）的間斷點的分析，可知，我們將間斷點坐落于６0ｒ）的間斷點，即可保證真逡逑解的間斷點保持在剖分節(jié)點處，從而保證有限元離散的收斂階。逡逑Ｈ６邐＾………ｒ邋邐邋１邐！￣－Ｉ邐邋�。檫娺娺姡姡哄义�、邐一如sEＳｏｔｏ邐／邋－

本文編號：2672150