【摘要】：二次型理論是數(shù)論的核心問題之一.Fermat,Lagrange,Gauss,Minkowski,Hasse和Siegel等數(shù)學(xué)家對二次型表示正整數(shù)都作出了重要貢獻(xiàn).設(shè)rk(n)表示整數(shù)n表示為k個(gè)整數(shù)的平方的個(gè)數(shù),即n = x12+x22+…+xk2(k ≥2)其中x1,x2,…,xk是正整數(shù).rk(n)的均值問題是一個(gè)經(jīng)典問題,很多數(shù)學(xué)家研究了這個(gè)問題(見Landau[16]).上世紀(jì) 90 年代,Fomenko[6]和 Muller[19,20]應(yīng)用 Rankin-Selberg 卷積方法得到:對于k≥ 3,∑rk2(n)=cxk-1+O(X(k-1)4k-3/4k-5),n≤x這里c = c(k)0是個(gè)常數(shù).Fomenko在文獻(xiàn)[7]中改k= 4時(shí)的結(jié)果為∑r42(n)= 32ξ(3)x3 + O(x2(logx)3/5),n≤x這里ξ(s)是Riemann ξ函數(shù).設(shè)f是定義在環(huán)O上的二元Hermitian形式,其中環(huán)O是虛二次域K=Q((?))(D0)的整環(huán),g是對應(yīng)整數(shù)集Z上的四元二次型.文獻(xiàn)[5],Elstrodt,Grunewald 和 Mennicke 用R(n = f(c,d))= R(n = g(x1,x2,x3,x4))表示整數(shù)n的表法個(gè)數(shù).王和勞[28]研究了 f(c,d)= 2|c|2 + |d|2,g(x1,X2,x3,x4)= 2(x12+x1x2+3x22)+x32+x3x4+3x42時(shí),整數(shù)n的表法個(gè)數(shù)R(n)= R(n = 2(x12+ x1x2 + 3x22)+ x32+x3x4-+3x42),的均值估計(jì),得到了∑R2(n)= Ax3+ O（ x2(logx)11/3),n≤x這里A是絕對常數(shù).本文研究了下面兩種R(n)表達(dá)式中含有自守形式的傅里葉系數(shù)的四元二次型表示整數(shù)個(gè)數(shù)的均值估計(jì).(i)當(dāng)g1(x1,x2,x3,x4)=x12+x22+5(x32+x42)時(shí)整數(shù)n的表法個(gè)數(shù)記為R1(n)= R(n = x12+ x22 + 5(x32+x42)).(ii)當(dāng)g2(x1,x2,x3,x4)=x12+x22+8(x32+x42)時(shí)整數(shù)n的表法個(gè)數(shù)記為R2(n)= R(n = x12 + x22+ 8(x32+ x42)).并得到相應(yīng)的漸近公式.定理1.當(dāng)x≥2時(shí),有∑R1(n)=C1x2 + O(x(logx)2/3),n≤x其中C1是常數(shù).定理2.當(dāng)x≥ 2時(shí),有∑R12(n)= C2x3 + O(x2(logx)11/3),n≤x其中c2是常數(shù).定理3.當(dāng)x≥2時(shí),有∑R=C3x2 + O(xlogx),n≤x其中C3是常數(shù).定理4.當(dāng)x≥ 2時(shí),有∑R22(n)= C4x3 + O(x2(logx)5/3),n≤x其中C4是常數(shù).
【學(xué)位授予單位】：山東師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O156

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本文編號：2660028