【摘要】：隨機微分方程廣泛應用于模擬物理學、經(jīng)濟學、生物學等諸多領域中的現(xiàn)象。因為大部分的隨機微分方程都無法求出其真解,對于隨機微分方程數(shù)值方法的研究近些年來扮演著越來越重要的角色。通常,能夠保持原系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì),比如幾何性質(zhì)、物理性質(zhì)等的數(shù)值方法,稱之為保結(jié)構方法。保結(jié)構方法因其良好的性質(zhì),尤其是在長時間數(shù)值模擬中的優(yōu)勢,得到了學者們的極大關注。因為守恒量和辛性是兩個最重要的系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì),本文主要致力于構造能夠保持一些隨機微分方程守恒量或辛性的數(shù)值方法。主要工作如下:考慮了具有守恒量的隨機微分方程�；谛碧荻刃问綐嬙炝艘活愲x散梯度方法,分析了該方法達到均方收斂階1的充分條件。然后,構造了一類線性投影方法。證明了所構造的兩類方法之間的關系,即,線性投影方法可以看作是離散梯度方法的一個子集。應用數(shù)值實驗驗證了理論結(jié)果,并說明了所構造方法的有效性。考慮了具有守恒量的分塊隨機微分方程。構造了一個隨機分塊平均向量場方法并進行了分析。證明了該方法可以自動保持原系統(tǒng)的守恒量。詳細地進行了收斂性分析,得出了該方法的均方收斂階是1.數(shù)值實驗檢驗了方法的有效性�？紤]了兩類單一積分函數(shù)型的隨機微分方程。第一類情形,研究了隨機正則Hamilton系統(tǒng)的任意高階保能量方法。通過W變換得到了一類含參數(shù)的隨機Runge Kutta方法,并應用截斷隨機變量替換了Wiener增量。證明了此替換在某些條件下不會改變方法的收斂階,并且,該方法對于任意確定的參數(shù)均為保辛的。分析了每一步都存在一個適當?shù)膮?shù)使得能量守恒成立,而且,該能量守恒的方法保持原隨機Gauss Runge Kutta方法的收斂階。數(shù)值實驗表明了該保能量方法求解隨機正則Hamilton系統(tǒng)的有效性。第二類情形,研究了隨機Poisson系統(tǒng)的任意高階保能量方法�；跀_動配置方法,構造了一類求解隨機Poisson系統(tǒng)的顯式含參數(shù)隨機Runge Kutta方法。類似于第一類情形,證明了每一步都存在一個適當?shù)膮?shù)使得能量守恒成立,而且,該能量守恒的方法保持原隨機Runge Kutta方法的收斂階。數(shù)值實驗顯示了方法的有效性以及得到的收斂階結(jié)果。提出了一種構造辛隨機分塊Runge Kutta方法的新穎有效的途徑。構造了一類求解分塊隨機微分方程的連續(xù)級值隨機分塊Runge Kutta方法。通過隨機B級數(shù)理論,得到了連續(xù)級值隨機分塊Runge Kutta方法的階條件。應用連續(xù)級值隨機分塊Runge Kutta方法求解隨機Hamilton系統(tǒng),得到了連續(xù)級值隨機分塊Runge Kutta方法的辛條件。證明了對于保辛的連續(xù)級值隨機分塊Runge Kutta方法,使用任一求積公式都會導出一個保辛的隨機分塊Runge Kutta方法。通過這種途徑,選取不同的求積公式即可方便地得到不同的辛隨機分塊Runge Kutta方法。依據(jù)辛條件和階條件,構造了一個具體的收斂階為1的辛連續(xù)級值隨機分塊Runge Kutta方法,并應用幾個求積公式得到了幾個辛隨機分塊Runge Kutta方法。數(shù)值實驗驗證了理論結(jié)果,表明了方法的有效性。
【學位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O211.63

【參考文獻】

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1 王小捷;隨機微分方程數(shù)值算法研究[D];中南大學;2012年

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本文編號：2625417