【摘要】：本論文研究的是正倒向隨機(jī)差分方程(FBS△Es)的可解性理論及其相關(guān)的最優(yōu)控制問題.正倒向隨機(jī)差分方程可以看作是正倒向隨機(jī)微分方程(FBSDE)在離散時(shí)間框架下的對應(yīng),后者從上世紀(jì)九十年代發(fā)展至今,已經(jīng)有了許多的研究成果,并且在最優(yōu)控制,經(jīng)濟(jì)金融等領(lǐng)域產(chǎn)生了非常廣泛的應(yīng)用價(jià)值.然而,相應(yīng)的對于正倒向隨機(jī)差分方程的研究卻相對較少,并且其中大部分工作是在數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域,其對差分方程的研究內(nèi)容主要是對FBSDE的近似.在本論文中,對于FBS△E及其優(yōu)化問題的討論著眼于其在離散時(shí)間框架下的自身的一些性質(zhì)特點(diǎn),而不是作為對連續(xù)時(shí)間情形的近似.事實(shí)上,用隨機(jī)差分方程刻畫問題與用離散時(shí)間控制模型解決問題有著廣闊的應(yīng)用前景.例如,數(shù)字化技術(shù)對信號(hào)固定時(shí)間離散采樣的特點(diǎn)使得對相關(guān)問題的建模都需要用到離散時(shí)間模型,隨著數(shù)字化技術(shù)的迅速發(fā)展,離散時(shí)間模型的價(jià)值也變得更加重要.本文主要包括四部分內(nèi)容,在第一部分我們研究了倒向隨機(jī)差分方程(BS△Es)的相關(guān)理論性質(zhì),主要是給出問題研究的框架結(jié)構(gòu)并得到一些基本結(jié)果,這些結(jié)果將在后面章節(jié)的理論推導(dǎo)中發(fā)揮作用.在第二部分我們研究了完全耦合的線性FBS△E解的存在唯一性理論,我們給出了線性FBS△E可解性的充要條件,并給出了兩種特殊情形下的推論,這一結(jié)果將用于第三部分非線性情形下的證明.在第三部分我們研究了完全耦合的一般非線性FBS△E解的存在唯一性理論,我們得到了不同情形下方程解存在唯一性的條件,這是第四部分的理論基礎(chǔ),同時(shí),我們在這一部分提出的FBS△E的乘積法則也將繼續(xù)用在第四部分里.最后,在第四部分,我們對部分耦合與完全耦合FBS△E系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題進(jìn)行了討論,并給出了對應(yīng)于該問題的最大值原理.關(guān)于本文的主要工作,詳述如下:首先,我們將對倒向隨機(jī)差分方程(BS△Es)的研究作為工作的起點(diǎn).在FBS△E中,倒向部分是其中更為重要的部分.基于離散時(shí)間下鞅表示定理的形式,對于BS△E的研究主要在兩種概率空間框架下,一類是由取值于Rd空間基向量的隨機(jī)過程生成的有限狀態(tài)概率空間,該隨機(jī)過程生成的鞅過程用來作為方程的驅(qū)動(dòng)過程,另一類是由增量獨(dú)立的鞅過程生成的一般概率空間,該增量獨(dú)立的鞅過程用來作為方程的驅(qū)動(dòng)過程.另外,基于生成元的具體形式,BS△E也可以分為兩類,一類是t時(shí)刻生成元依賴于t時(shí)刻解的隱式依賴,一類是t時(shí)刻生成元依賴于t+1時(shí)刻解的顯式依賴.兩類方程有不同的意義并且不能互相轉(zhuǎn)化.我們在兩類概率框架,兩類生成元下系統(tǒng)地研究BSAE及FBS△E的相關(guān)理論.注意到有限狀態(tài)概率空間下鞅表示定理的結(jié)果在一般意義下并不唯一.唯一性只在一類等價(jià)關(guān)系下成立.等價(jià)關(guān)系使得在有限狀態(tài)概率空間下對于方程形式的構(gòu)建與變量范數(shù)的定義都變得更為復(fù)雜.針對這一問題我們在第二章中進(jìn)行討論.我們的主要工作是在有限狀態(tài)概率空間下給出了等價(jià)關(guān)系的顯式刻畫,該刻畫方式不依賴于概率空間結(jié)構(gòu),并基于這一結(jié)果構(gòu)造等價(jià)類并在其上定義范數(shù).之后我們證明了這一范數(shù)與通過鞅過程定義的半范數(shù)的關(guān)系.另外.我們給出了鞅表示定理的顯式表達(dá)結(jié)果.最后,我們給出了幾種類型的BS△E解的存在唯一性理論.相關(guān)內(nèi)容可以參見論文第二章.其次,我們研究了完全耦合的線性FBS△E這一類特殊FBS△E的可解性理論.在有限狀態(tài)概率空間下.我們具體考察了生成元隱式依賴與生成元顯式依賴的隨機(jī)系數(shù)線性FBS△E.在一般狀態(tài)概率空間下,我們具體考察了生成元隱式依賴與生成元顯式依賴的確定齊次項(xiàng)系數(shù)線性FBS△E.我們的主要工作是通過將線性FBS△E的可解性問題轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組的可解性問題,從而給出線性FBS△E解存在唯一的充分必要條件.需要指出的是，與連續(xù)時(shí)間情形下給出的Riccati方程可解性這一充分條件相比,這里在離散時(shí)間情形下的充要條件更容易驗(yàn)證.相關(guān)內(nèi)容可以參見論文第三章.之后,我們研究了完全耦合的非線性FBS△E的可解性理論.在有限狀態(tài)概率空間下.我們具體討論了生成元顯式依賴的一維非線性FBS△E與生成元隱式依賴的多維非線性FBS△E，在一般狀態(tài)概率空間下，我們具體討論了生成元顯式依賴的正倒向變量同維非線性FBS△E與生成元隱式依賴的多維非線性FBS△E.我們的主要工作是在生成元顯式依賴的情形下給出離散時(shí)間下FBS△E的乘積法則，這一技術(shù)可以在一定程度起到類似于微分方程中Ito公式的作用.通過這一技術(shù)我們得到了單調(diào)性條件下生成元顯式依賴的有限狀態(tài)概率空間與一般狀態(tài)概率空間下FBS△E解的存在唯一性定理.另外,我們通過引入λ-范數(shù)，并利用差分方程解的估計(jì),通過壓縮映射的方法得到了弱耦合條件下生成元隱式依賴的有限狀態(tài)概率空間與一般狀態(tài)概率空間下FBS△E解的存在唯一性定理.相關(guān)內(nèi)容可以參見論文第四章.最后，我們研究了 FBS△E最優(yōu)控制問題.在有限狀態(tài)概率空間下，我們研究了多維情形下部分耦合的FBS△E最優(yōu)控制問題與一維情形下完全耦合的FBS△E最優(yōu)控制問題.在一般狀態(tài)概率空間下.我們研究了多維情形下部分耦合的FBS△E最優(yōu)控制問題與正倒向變量同維情形下完全耦合的FBS△E最優(yōu)控制問題.這一部分我們的主要工作包括通過FBS△E的乘積法則得到了完全耦合情形下變分方程解的估計(jì),以及通過FBS△E的乘積法則建立的對偶關(guān)系而推導(dǎo)得出部分耦合與完全耦合情形下伴隨方程與哈密頓系統(tǒng)的合適形式，并最終給出最優(yōu)控制問題的最大值原理.相關(guān)內(nèi)容可以參見論文第五章.
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O175.7

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本文編號(hào)：2619960