【摘要】：本論文研究的是正倒向隨機(jī)差分方程(FBS△Es)的可解性理論及其相關(guān)的最優(yōu)控制問題.正倒向隨機(jī)差分方程可以看作是正倒向隨機(jī)微分方程(FBSDE)在離散時(shí)間框架下的對(duì)應(yīng),后者從上世紀(jì)九十年代發(fā)展至今,已經(jīng)有了許多的研究成果,并且在最優(yōu)控制,經(jīng)濟(jì)金融等領(lǐng)域產(chǎn)生了非常廣泛的應(yīng)用價(jià)值.然而,相應(yīng)的對(duì)于正倒向隨機(jī)差分方程的研究卻相對(duì)較少,并且其中大部分工作是在數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域,其對(duì)差分方程的研究?jī)?nèi)容主要是對(duì)FBSDE的近似.在本論文中,對(duì)于FBS△E及其優(yōu)化問題的討論著眼于其在離散時(shí)間框架下的自身的一些性質(zhì)特點(diǎn),而不是作為對(duì)連續(xù)時(shí)間情形的近似.事實(shí)上,用隨機(jī)差分方程刻畫問題與用離散時(shí)間控制模型解決問題有著廣闊的應(yīng)用前景.例如,數(shù)字化技術(shù)對(duì)信號(hào)固定時(shí)間離散采樣的特點(diǎn)使得對(duì)相關(guān)問題的建模都需要用到離散時(shí)間模型,隨著數(shù)字化技術(shù)的迅速發(fā)展,離散時(shí)間模型的價(jià)值也變得更加重要.本文主要包括四部分內(nèi)容,在第一部分我們研究了倒向隨機(jī)差分方程(BS△Es)的相關(guān)理論性質(zhì),主要是給出問題研究的框架結(jié)構(gòu)并得到一些基本結(jié)果,這些結(jié)果將在后面章節(jié)的理論推導(dǎo)中發(fā)揮作用.在第二部分我們研究了完全耦合的線性FBS△E解的存在唯一性理論,我們給出了線性FBS△E可解性的充要條件,并給出了兩種特殊情形下的推論,這一結(jié)果將用于第三部分非線性情形下的證明.在第三部分我們研究了完全耦合的一般非線性FBS△E解的存在唯一性理論,我們得到了不同情形下方程解存在唯一性的條件,這是第四部分的理論基礎(chǔ),同時(shí),我們?cè)谶@一部分提出的FBS△E的乘積法則也將繼續(xù)用在第四部分里.最后,在第四部分,我們對(duì)部分耦合與完全耦合FBS△E系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題進(jìn)行了討論,并給出了對(duì)應(yīng)于該問題的最大值原理.關(guān)于本文的主要工作,詳述如下:首先,我們將對(duì)倒向隨機(jī)差分方程(BS△Es)的研究作為工作的起點(diǎn).在FBS△E中,倒向部分是其中更為重要的部分.基于離散時(shí)間下鞅表示定理的形式,對(duì)于BS△E的研究主要在兩種概率空間框架下,一類是由取值于Rd空間基向量的隨機(jī)過程生成的有限狀態(tài)概率空間,該隨機(jī)過程生成的鞅過程用來作為方程的驅(qū)動(dòng)過程,另一類是由增量獨(dú)立的鞅過程生成的一般概率空間,該增量獨(dú)立的鞅過程用來作為方程的驅(qū)動(dòng)過程.另外,基于生成元的具體形式,BS△E也可以分為兩類,一類是t時(shí)刻生成元依賴于t時(shí)刻解的隱式依賴,一類是t時(shí)刻生成元依賴于t+1時(shí)刻解的顯式依賴.兩類方程有不同的意義并且不能互相轉(zhuǎn)化.我們?cè)趦深惛怕士蚣?兩類生成元下系統(tǒng)地研究BSAE及FBS△E的相關(guān)理論.注意到有限狀態(tài)概率空間下鞅表示定理的結(jié)果在一般意義下并不唯一.唯一性只在一類等價(jià)關(guān)系下成立.等價(jià)關(guān)系使得在有限狀態(tài)概率空間下對(duì)于方程形式的構(gòu)建與變量范數(shù)的定義都變得更為復(fù)雜.針對(duì)這一問題我們?cè)诘诙轮羞M(jìn)行討論.我們的主要工作是在有限狀態(tài)概率空間下給出了等價(jià)關(guān)系的顯式刻畫,該刻畫方式不依賴于概率空間結(jié)構(gòu),并基于這一結(jié)果構(gòu)造等價(jià)類并在其上定義范數(shù).之后我們證明了這一范數(shù)與通過鞅過程定義的半范數(shù)的關(guān)系.另外.我們給出了鞅表示定理的顯式表達(dá)結(jié)果.最后,我們給出了幾種類型的BS△E解的存在唯一性理論.相關(guān)內(nèi)容可以參見論文第二章.其次,我們研究了完全耦合的線性FBS△E這一類特殊FBS△E的可解性理論.在有限狀態(tài)概率空間下.我們具體考察了生成元隱式依賴與生成元顯式依賴的隨機(jī)系數(shù)線性FBS△E.在一般狀態(tài)概率空間下,我們具體考察了生成元隱式依賴與生成元顯式依賴的確定齊次項(xiàng)系數(shù)線性FBS△E.我們的主要工作是通過將線性FBS△E的可解性問題轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組的可解性問題,從而給出線性FBS△E解存在唯一的充分必要條件.需要指出的是，與連續(xù)時(shí)間情形下給出的Riccati方程可解性這一充分條件相比,這里在離散時(shí)間情形下的充要條件更容易驗(yàn)證.相關(guān)內(nèi)容可以參見論文第三章.之后,我們研究了完全耦合的非線性FBS△E的可解性理論.在有限狀態(tài)概率空間下.我們具體討論了生成元顯式依賴的一維非線性FBS△E與生成元隱式依賴的多維非線性FBS△E，在一般狀態(tài)概率空間下，我們具體討論了生成元顯式依賴的正倒向變量同維非線性FBS△E與生成元隱式依賴的多維非線性FBS△E.我們的主要工作是在生成元顯式依賴的情形下給出離散時(shí)間下FBS△E的乘積法則，這一技術(shù)可以在一定程度起到類似于微分方程中Ito公式的作用.通過這一技術(shù)我們得到了單調(diào)性條件下生成元顯式依賴的有限狀態(tài)概率空間與一般狀態(tài)概率空間下FBS△E解的存在唯一性定理.另外,我們通過引入λ-范數(shù)，并利用差分方程解的估計(jì),通過壓縮映射的方法得到了弱耦合條件下生成元隱式依賴的有限狀態(tài)概率空間與一般狀態(tài)概率空間下FBS△E解的存在唯一性定理.相關(guān)內(nèi)容可以參見論文第四章.最后，我們研究了 FBS△E最優(yōu)控制問題.在有限狀態(tài)概率空間下，我們研究了多維情形下部分耦合的FBS△E最優(yōu)控制問題與一維情形下完全耦合的FBS△E最優(yōu)控制問題.在一般狀態(tài)概率空間下.我們研究了多維情形下部分耦合的FBS△E最優(yōu)控制問題與正倒向變量同維情形下完全耦合的FBS△E最優(yōu)控制問題.這一部分我們的主要工作包括通過FBS△E的乘積法則得到了完全耦合情形下變分方程解的估計(jì),以及通過FBS△E的乘積法則建立的對(duì)偶關(guān)系而推導(dǎo)得出部分耦合與完全耦合情形下伴隨方程與哈密頓系統(tǒng)的合適形式，并最終給出最優(yōu)控制問題的最大值原理.相關(guān)內(nèi)容可以參見論文第五章.
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O175.7

【相似文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前10條

1 葛玲玲;廖新元;陳會(huì)利;魯銀霞;;一類隨機(jī)差分方程解的穩(wěn)定性分析[J];數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用;2017年02期

2 王明文;;非線性隨機(jī)差分方程的穩(wěn)定性[J];江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);1988年03期

3 王崇金;隨機(jī)差分方程在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用[J];武漢金融高等專科學(xué)校學(xué)報(bào);1995年04期

4 王建舉;;隨機(jī)差分方程的平穩(wěn)解[J];廈門大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);1961年03期

5 俞中明;;非線性隨機(jī)差分方程的穩(wěn)定性[J];南京大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);1979年03期

6 王濤，盛昭瀚;一類定常非線性隨機(jī)差分方程平穩(wěn)解的存在性[J];東南大學(xué)學(xué)報(bào);1994年01期

7 孫林巖;隨機(jī)差分方程分析及其在人才預(yù)測(cè)研究中的應(yīng)用[J];系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用;1995年02期

8 王濤，盛昭瀚;一類定常非線性隨機(jī)差分方程的漸近平穩(wěn)性[J];東南大學(xué)學(xué)報(bào);1994年02期

9 王婷;郭小林;楊生武;;隨機(jī)差分方程的比較定理(英文)[J];華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2008年03期

10 曹鴻興;作為隨機(jī)差分方程求解問題的統(tǒng)計(jì)-動(dòng)力天氣預(yù)報(bào)[J];科學(xué)通報(bào);1981年01期

相關(guān)會(huì)議論文 前1條

1 張紀(jì)鋒;陳翰馥;;階、時(shí)滯及系數(shù)都未知的系統(tǒng)的辨識(shí)和適應(yīng)控制[A];1989年控制理論及其應(yīng)用年會(huì)論文集（中）[C];1989年

相關(guān)博士學(xué)位論文 前1條

1 劉浩東;正倒向隨機(jī)差分方程理論及其相關(guān)的優(yōu)化問題[D];山東大學(xué);2018年

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前2條

1 安麗芬;離散時(shí)間有限狀態(tài)的反射倒向隨機(jī)差分方程及其應(yīng)用[D];山東大學(xué);2010年

2 曹毅;基于隨機(jī)微分方程模型的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)研究[D];濟(jì)南大學(xué);2011年

，

本文編號(hào)：2619960