【摘要】：在本文中我們研究離散Clifford分析,即網(wǎng)格上的離散monogenic函數(shù)理論。最近幾年,一些學(xué)者對(duì)Clifford分析在離散情形的推廣表現(xiàn)出了興趣。已有大量的相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)表。其研究范圍涵括了擬Weyl關(guān)系、離散Taylor展開、離散積分論、離散monogenic函數(shù)的邊界值問(wèn)題等等。但是,現(xiàn)有的理論框架中仍有很多不足。其中一點(diǎn)妨礙了此理論的繼續(xù)發(fā)展。那就是離散Cauchy-Pompeiu公式不具有連續(xù)版本的相同形式。為了解決這個(gè)問(wèn)題,我們引入新概念“離散邊界測(cè)度”和“離散法向量”,在此基礎(chǔ)上建立了一個(gè)新的離散積分理論。這使得討論任意一個(gè)有界域上的連續(xù)monogenic函數(shù)和離散monogenic函數(shù)的收斂關(guān)系成為可能。此外,我們還利用兩個(gè)Sheffer序列建立了分裂四元數(shù)上的離散Taylor展開理論。文章具體內(nèi)容如下:第一章為引言。我們介紹了研究的歷史背景、研究現(xiàn)狀以及我們的研究?jī)?nèi)容和進(jìn)展。第二章包含了離散基本理論的基本內(nèi)容。我們引入了新的概念“離散邊界測(cè)度”和“離散法向量”。我們也將給出離散Cauchy-Fueter算子的基本解并研究它的性質(zhì),特別是它的漸近展開。最后借助此基本解和離散Stokes定理,我們建立了和連續(xù)版本具有相同形式的離散Cauchy-Pompeiu公式。在第三章中,我們研究離散monogenic函數(shù)的邊界值問(wèn)題。主要是離散Cauchy-Fueter系統(tǒng)的Dirichlet問(wèn)題的可解性。我們面臨的主要困難是在離散情形下到邊界上的非切向極限是不存在的。我們發(fā)現(xiàn)離散Cauchy-Bitsadze積分在內(nèi)層離散邊界上的限制和連續(xù)Cauchy-Bitsadze積分從域內(nèi)到邊界上的非切向極限在函數(shù)的邊界行為刻畫上起到相同的作用。類似的結(jié)論對(duì)于外層離散邊界也成立�；谶@一事實(shí),我們建立了離散Sokhotski-Plemelj公式并通過(guò)離散Plemelj算子給出了離散Cauchy-Fueter系統(tǒng)的Dirichlet問(wèn)題可解性的判定法則。在第四章中,我們將對(duì)離散Clifford分析中的幾個(gè)收斂性問(wèn)題給出解答。結(jié)合新的離散積分理論和我們關(guān)于歐氏空間中域的離散逼近的結(jié)論,我們揭示了離散和連續(xù)monogenic函數(shù)的收斂關(guān)系:一個(gè)函數(shù)是monogenic函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)其是一列離散monogenic函數(shù)的scaling極限。更進(jìn)一步的,我們還證明了和離散monogenic函數(shù)的邊界行為有關(guān)的積分算子,包括離散Plemelj投影,都收斂于它們?cè)谶B續(xù)情形下的對(duì)應(yīng)算子。在第五章中我們研究了離散復(fù)分析,即二維離散Clifford分析,中的一個(gè)基本問(wèn)題:一個(gè)離散全純函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)是否收斂于自身?基于Sheffer序列我們證明了對(duì)于一類分裂四元數(shù)取值的離散全純函數(shù),其Taylor展開必然是收斂于自身的。
【學(xué)位授予單位】：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O241.8

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本文編號(hào)：2595017