【摘要】：本篇論文有兩個主題.第一個是研究帶有有界類型Siegel盤的全純映射的Julia集的局部連通性;第二個是研究實(shí)軸到單位圓周的一維覆蓋映射的擬正則延拓.基于這種延拓,利用擬共形手術(shù),我們構(gòu)造了一類整函數(shù),這類整函數(shù)為Stallard的Cauc.hy積分提供了一個幾何模型.關(guān)于第一個主題,我們主要研究帶有有界類型Siegel盤的全純映射的局部連通性.在這方面最早.的結(jié)果由Petersen獲得.他在.[62]中證明了對二次多項(xiàng)式,如果它有一個有界類型的Siegel盤,則其.Julia集是局部連通的.Petersen的證明中的主要想法是構(gòu)造了一 puzzle pieces(現(xiàn)在被稱作是 Petersen's puzzles),并且對這類 puzzle pieces 給出了幾何上的很細(xì)微的估計(jì).借助于臨界圓周映射的復(fù)界,Yampolsky給出了另外一種方法證明了 Petersen的結(jié)果.這種復(fù)界的獲得依賴于如下事實(shí):二次多項(xiàng)式的有界類型的Siegel盤的邊界只有一個臨界點(diǎn).我們的研究有兩個特點(diǎn).第一,我們研究的映射,很多情況下不存在puzzle結(jié)構(gòu);第二,我們允許在Siegel盤的邊界上含有多個臨界點(diǎn).特別的,我們研究了多項(xiàng)式,有理函數(shù),和整函數(shù)在滿足以上兩個特點(diǎn)的條件下,Julia集的局部連通性(定理4.1,P42).值得指出的是,當(dāng)一個Siegel盤內(nèi)部包含一個漸近值,那么就會存在無限多個Siegel盤的逆像,這些逆像在球面度量下,它們的直徑有正的下界.根據(jù)Whyburn定理,這意味著Julia集不是局部連通的.映射e2πiθzez就滿足這個特點(diǎn).我們將對e2πiθzez的Julia集的結(jié)構(gòu)給出詳細(xì)的描述(定理4.2,p44).在這一部分的研究中我們的主要的新思想是引理4.1(p46).這個引理斷言一類Blaschke乘積的高次迭代在單位圓周附近表現(xiàn)出一定的弱擴(kuò)張性.作為補(bǔ)充,我們利用擬共形手術(shù)構(gòu)造出一類整函數(shù),使其滿足如下特定的動力系統(tǒng)性質(zhì):所有的Fatou分支都是擬圓盤,但其Julia集是非局部連通的(引理5.1,定理5,1 p67).在[7]中,作者利用Maclane-Vinberg方法(一種函數(shù)論的方法)構(gòu)造出了這樣的一類整函數(shù).與上述文獻(xiàn)的方法不同的是,我們利用擬共形手術(shù)來構(gòu)造這類整函數(shù).我們的方法更具有幾何特點(diǎn).本篇論文的第二個主題,是研究實(shí)軸到單位圓周的一維覆蓋映射的擬正則延拓(定理6.1,p81).這項(xiàng)研究有兩個重要意義.在擬共形映射的基礎(chǔ)理論方面,這種擬正則延拓是Beurling-Ahlfors擬共形延拓的一個自然推廣.在復(fù)動力系統(tǒng)中的應(yīng)用方面,這樣的延拓可以使得我們獲得一個具有不變橢圓域的擬正則模型,從而通過擬共型手術(shù)得到一個滿足特定性質(zhì)的整函數(shù).特別地,在我們已經(jīng)完成的工作中我們對Stallard關(guān)于實(shí)現(xiàn)Julia集的Hausdorff維數(shù)的Cauchy積分給出了相應(yīng)的幾何模型.在這一研究中我們主要的新思想是一類“金字塔”模形的構(gòu)造.文章的大致結(jié)構(gòu)如下.在第一章中,我們首先介紹本篇論文主要論題的研究歷史和研究背景及發(fā)展?fàn)顩r;其次介紹了這篇博士論文所研究的主要內(nèi)容和結(jié)果.最后,給出了所用到的復(fù)動力系統(tǒng)中的基礎(chǔ)知識、雙曲度量、Koebe偏差定理、Hausdorff維數(shù)以及圓周同胚映射等這些基礎(chǔ)性的研究工具和后面章節(jié)所用到的一些主要結(jié)果等.在第二章中,我們分三個小節(jié)系統(tǒng)地介紹了擬共形映射理論.我們對擬共形映射及擬正則映射的定義及其基本性質(zhì)做了簡單介紹.我們著重討論了擬共形映射的延拓.在第三章中,我們主要關(guān)注擬共形手術(shù)基本原理及其在復(fù)動力系統(tǒng)中的應(yīng)用.我們首先介紹擬共形手術(shù)的基本原理及其等價(jià)條件.這些等價(jià)條件在下面的第五、六章中將要用到.另外,通過一些例子,討論擬共形手術(shù)在復(fù)動力系統(tǒng)的中應(yīng)用.例如,類多項(xiàng)式共軛于一個多項(xiàng)式,將一個單連通分支中的幾何吸性不動點(diǎn)通過手術(shù)轉(zhuǎn)換成超吸性不動點(diǎn),將一個幾何吸性不動點(diǎn)轉(zhuǎn)化為無理中性不動點(diǎn),怎樣進(jìn)行Siegel盤與Herman環(huán)的相互轉(zhuǎn)化等等.在第四章中,我們分三個主要部分,七個小節(jié)來介紹我們的主要工作.更加具體地說,我們證明了一類擬-Blaschke模型映射,經(jīng)過很多次迭代以后,在單位圓周附近所出現(xiàn)的某種擴(kuò)張性.依此來證明一類帶有有界類型Siegel盤的全純映射的Julia集是局部連通的.在第五章中,我們利用擬共形手術(shù)構(gòu)造出了一類整函數(shù),使得其所有的Fatou分支均是擬圓盤的且Julia集是非局部連通的.構(gòu)造過程的關(guān)鍵點(diǎn)是要找一個擬正則映射F使得F的動力系統(tǒng)性質(zhì)和我們要構(gòu)造的整函數(shù)∫的動力系統(tǒng)性質(zhì)是相似的.例如,F與∫的奇異值集合是一樣的等等.在§5.3中,我們先假設(shè)擬正則映射F己經(jīng)找到,給出主要定理的證明.在§5.4節(jié),給出主要引理的證明.在第六章中,我們主要研究了一維覆蓋映射的擬正則延拓.在定理6.1(p81)中給出了實(shí)軸到單位圓周的覆蓋映射可以擬正則延拓到上半平面的充分條件.其證明方法是構(gòu)造性的.這一部分的主要思想是一類金字塔模型的構(gòu)造.在這章的最后,作為一個應(yīng)用,我們給出了 Stallard的Cauchy積分的一個幾何模型.
【圖文】：

構(gòu)造擬正則映射

′是 - 擬共形映射.從圖2.1中, 可以直觀得理解兩個黎曼曲面上的 -擬共形映射的定義, 參看 [14], p36.注2.2. (1) 兩個黎曼曲面之間的 -擬共形映射的定義是不依賴于坐標(biāo)卡的選取. 因?yàn)椴煌淖鴺?biāo)卡之間相差一個共形映射. 事實(shí)上, 假設(shè) , ′分別是 , ( ) 的坐標(biāo)卡, 有 ′° ° 1= ( ′° ′ 1) ° ( ′° ° 1) ° ( ° 1) 1
【學(xué)位授予單位】：曲阜師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O174

【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前2條

1 ;On the boundary value problem for harmonic maps of the Poincaré disc[J];Chinese Science Bulletin;1997年24期

2 譚蕾,尹永成;Local connectivity of the Julia set for geometrically finite rational maps[J];Science in China,Ser.A;1996年01期

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本文編號：2594520