發(fā)布時間：2020-02-03 04:41

【摘要】：在“數(shù)值算法應(yīng)盡可能多地保持原問題的本質(zhì)特征”的指導(dǎo)原則下,馮康先生首先提出了保結(jié)構(gòu)算法的思想.由于其優(yōu)良的穩(wěn)定性和精確的長時間數(shù)值表現(xiàn),目前保結(jié)構(gòu)算法在求解哈密頓常微分方程上已經(jīng)取得了顯著的效果.但是,非線性波的傳播,電磁場的演化等實際問題經(jīng)常涉及無窮維哈密頓系統(tǒng).對該系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法研究還不夠完善仍處于起步階段,有許多基礎(chǔ)理論與實際應(yīng)用問題函待解決.因此,本文致力于進一步研究無窮維哈密頓系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法,主要包含兩個部分.第一部分主要是繼續(xù)發(fā)展無窮維哈密頓系統(tǒng)保結(jié)構(gòu)算法的基本理論.一方面,由于局部保結(jié)構(gòu)算法在提出后研究工作很少,所以我們首先以Korteweg-de Vries方程為研究對象,為其構(gòu)造出一系列局部保結(jié)構(gòu)算法.然后,我們系統(tǒng)給出一維和二維情況下一般守恒偏微分系統(tǒng)的局部保結(jié)構(gòu)算法的構(gòu)造框架,該框架適用于一大類守恒偏微分方程.另一方面,由于保結(jié)構(gòu)算法的傳統(tǒng)誤差估計工作還不是很多,所以我們構(gòu)造并分析在不同邊界條件下非線性Schrodinger方程和Klein-Gordon-Schrodinger方程的保結(jié)構(gòu)算法.第二部分是研究新構(gòu)造的保結(jié)構(gòu)算法在非線性波方程數(shù)值模擬上的應(yīng)用.主要研究成果如下:1.由于偏微分方程的結(jié)構(gòu)是定義在整體時間層上的,結(jié)構(gòu)的保持必須和邊界條件相關(guān).因此,當(dāng)討論一個給定偏微分方程的傳統(tǒng)保結(jié)構(gòu)算法時,除了要考察該方程是否是保守系統(tǒng)外,還必須看所給的邊界條件是否合適.為了擴大保結(jié)構(gòu)算法的適用范圍,我們基于復(fù)合構(gòu)造方法以Korteweg-de Vries方程為研究對象,給出構(gòu)造其一系列局部保結(jié)構(gòu)算法的框架,包括八個多辛算法,八個局部能量守恒算法以及八個局部動量守恒算法.這些局部保結(jié)構(gòu)算法在任何的時間和空間區(qū)域上都保持離散的局部守恒結(jié)構(gòu).當(dāng)邊界條件適當(dāng)時,這些局部保結(jié)構(gòu)算法就是全局保結(jié)構(gòu)算法,反之不然.我們還給出了一些格式的線性穩(wěn)定性分析.另外,數(shù)值實驗表明所構(gòu)造的局部保結(jié)構(gòu)算法不但能得到較好的數(shù)值解,還可以保持系統(tǒng)的相應(yīng)守恒律.這個統(tǒng)一框架可以很容易的被應(yīng)用于許多其他方程.2.很多偏微分方程能被寫成一個多辛哈密頓系統(tǒng).多辛哈密頓系統(tǒng)有三個局部守恒律,即多辛守恒律,局部能量守恒律和局部動量守恒律.雖然已有工作驗證了局部保結(jié)構(gòu)算法理論可以適用于若干具體方程,但是仍然還有許多守恒型偏微分方程需要去驗證.所以,我們對一般保守偏微分方程,從多辛形式出發(fā),系統(tǒng)地給出其一維和二維情況下的局部保結(jié)構(gòu)算法的構(gòu)造框架.這些所提出的算法中包括了著名的多辛Preissmann格式和Euler-box格式,以及許多新格式.另外,我們不僅利用平均向量場方法對空間進行離散構(gòu)造局部能量守恒算法還利用其對時間方向進行離散來得到局部動量守恒算法.這里所提出的局部保結(jié)構(gòu)算法都不依賴于邊界條件并且適用于一大類守恒偏微分方程.利用此框架,我們?yōu)榉蔷�性Schrodinger方程和Klein-Gordon-Schrodinger方程構(gòu)造出一系列局部保結(jié)構(gòu)算法.數(shù)值實驗也表明所提算法的良好表現(xiàn).3.近年來,高階緊有限差分方法在高精度波的模擬中起著重要作用.我們提出并分析了 Dirichlet邊界條件下Klein-Gordon-Schrodinger方程的一個兩層守恒高階緊差分格式.我們使用實函數(shù)(?)(x,t)的時間導(dǎo)作為一個獨立變量并重寫原初邊值問題為一個等價的系統(tǒng)來克服理論分析該方程兩層緊格式的困難.另外,對于緊算子和Dirichlet邊界條件帶來的困難,我們將所提格式的逐點分量形式轉(zhuǎn)化成等價的向量形式.接著,我們運用能量方法和矩陣知識來證明該格式保持離散的總電荷和總能量.僅在原方程的解滿足一定正則性的條件下,我們分析了該算法在L2模意義下的誤差估計.數(shù)值實驗印證了理論分析.4.基于線方法的數(shù)值方法,除了有限差分方法以外,Fourier擬譜方法也由于其高精度和高效性成為最常采用的方法之一.對耦合非線性Schrodinger系統(tǒng),我們基于Fourier擬譜方法,Crank-Nicolson方法和蛙跳方法給出一個高效的守恒格式.我們的主要思想有兩部分.第一,我們是從耦合非線性Schrodinger系統(tǒng)的哈密頓結(jié)構(gòu)出發(fā)并且所得的格式仍然保持哈密頓特性.第二,在空間上,我們使用Fourier擬譜方法進行離散,在時間上,我們針對線性項和非線性項分別使用Crank-Nicolson方法和蛙跳方法進行離散.使用能量方法和傳統(tǒng)的插值理論,我們嚴(yán)格證明了所提格式僅在原方程的解在滿足一定的正則性的條件下的L2模誤差估計.最后,數(shù)值實驗驗證了理論分析.5.在本文中,我們還對周期邊界條件下Klein-Gordon-Schrodinger方程提出并分析了一個新的Fourier擬譜守恒格式.首先,我們將原方程改寫成一個無窮維的哈密頓系統(tǒng).接著,我們借助于Fourier擬譜方法使用線方法的思想得到一個半離散系統(tǒng).該系統(tǒng)可以被表示成一個典則的有限維哈密頓系統(tǒng).然后,對所得半離散系統(tǒng),我們利用對稱離散梯度方法得到一個同時保持能量和電荷的格式.基于離散守恒律以及由Fourier擬譜方法誘導(dǎo)的半范與由有限差分方法誘導(dǎo)的半范的等價性,我們證明了 Fourier擬譜解在最大模意義下的有界性.僅在原方程的解滿足一定正則性的條件下,我們分析了所構(gòu)造格式在L2模意義下的誤差估計.數(shù)值實驗和理論分析相一致.
【學(xué)位授予單位】：南京師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O241.82

【參考文獻】

相關(guān)期刊論文 前8條

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本文編號：2575898