【摘要】：分?jǐn)?shù)微積分是整數(shù)階微積分的推廣,由于分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)可以描述材料和過程的記憶和遺傳性質(zhì),所以分?jǐn)?shù)階模型比整數(shù)階模型更適合描述一些實(shí)際問題,例如分?jǐn)?shù)微分方程在神經(jīng)元、電化學(xué)和控制論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.p-Laplacian方程源于力學(xué)中的多孔介質(zhì)中的湍流,并在非牛頓流體理論和非線性彈性力學(xué)等領(lǐng)域有著諸多應(yīng)用.近年來,分?jǐn)?shù)微分方程邊值問題解的存在性和多解性引起了眾多學(xué)者的關(guān)注,也得到了許多重要的結(jié)果,但所用工具多為不動(dòng)點(diǎn)定理和拓?fù)涠壤碚摰确蔷�性分析方法,而用臨界點(diǎn)理論得到的結(jié)果則很少,原因在于分?jǐn)?shù)邊值問題對(duì)應(yīng)的函數(shù)空間和變分泛函難以構(gòu)建.本文利用臨界點(diǎn)理論和度理論討論了幾類分?jǐn)?shù)p-Laplacian方程邊值問題的可解性,在適當(dāng)?shù)臈l件下得到了一些邊值問題解和無窮多解的存在性結(jié)果,所得結(jié)果在一定程度上推廣和完善了一些已有工作.本文內(nèi)容分為六章,具體如下.第一章介紹了所研問題的研究意義和研究現(xiàn)狀,陳述了本文的主要工作,并介紹了一些分?jǐn)?shù)微積分的基本概念和基本性質(zhì).第二章在變分框架下討論了分?jǐn)?shù)p-Laplacian方程和Kirchhoff型分?jǐn)?shù)pLaplacian方程Dirichlet問題的多解性,當(dāng)非線性項(xiàng)在無窮遠(yuǎn)處是p-1次線性(p2-1次線性)時(shí),利用虧格(genus)的性質(zhì)得到了Dirichlet問題無窮多非平凡弱解的存在性結(jié)果.由于p-Laplacian算子和Kirchhoff項(xiàng)是非線性的,這給(PS)條件的驗(yàn)證帶來了一定的困難.第三章在變分框架下討論了分?jǐn)?shù)p-Laplacian方程和Kirchhoff型分?jǐn)?shù)pLaplacian方程Dirichlet問題的可解性,在非線性項(xiàng)滿足Ambrosetti-Rabinowtiz條件時(shí),利用山路定理得到了Dirichlet問題非平凡弱解的存在性結(jié)果,并用Nehari方法得到了Dirichlet問題非平凡基態(tài)解的存在性結(jié)果.由于Kirchhoff項(xiàng)是非線性的,這給Nehari流形和值映射的凸性的驗(yàn)證帶來了額外的困難.此外,Ambrosetti-Rabinowtiz條件可以保證非線性項(xiàng)在無窮遠(yuǎn)處是p-1超線性(p2-1超線性)的,該條件不同于第二章中的p-1次線性(p2-1次線性)條件.第四章在度理論框架下討論了分?jǐn)?shù)p-Laplacian方程周期邊值問題的可解性,首先構(gòu)建了分?jǐn)?shù)p-Laplacian算子在周期邊界條件下的延拓定理,然后在增長條件和符號(hào)條件下,用該延拓定理得到了周期邊值問題解的存在性結(jié)果.由于分?jǐn)?shù)p-Laplacian算子是非線性算子,而Mawhin延拓定理僅對(duì)線性算子有效,所以本章構(gòu)建的延拓定理是Mawhin延拓定理的一個(gè)推廣.第五章在度理論框架下討論了幾類分?jǐn)?shù)p-Laplacian方程共振邊值問題的可解性,當(dāng)非線性項(xiàng)滿足增長條件和符號(hào)條件時(shí),利用延拓定理得到了共振邊值問題解的存在性結(jié)果.共振邊值問題相應(yīng)的齊次問題具有非平凡解,因此對(duì)應(yīng)的微分算子不可逆.此外,Mawhin延拓定理只能處理線性算子,所以本章將邊值問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線性系統(tǒng)加以討論.第六章總結(jié)了本文的主要結(jié)果,并對(duì)后繼的研究工作進(jìn)行了展望.
【學(xué)位授予單位】：中國礦業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O175.8

【相似文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前10條

1 雷沛東;The Cauchy Problem for the p-Laplacian Equation with a Nonlinear Source[J];Northeastern Mathematical Journal;2001年01期

2 晏平,章梅榮;Periodic Eigenvalues of One-Dimensional p-Laplacian with Indefinite Weights[J];Tsinghua Science and Technology;2003年05期

3 ;Generation and Propagation of Interfaces for p-Laplacian Equations[J];Acta Mathematica Sinica(English Series);2004年02期

4 ;Existence,Multiplicity and Infinite Solvability of Positive Solutions for One-Dimensional p-Laplacian[J];Acta Mathematica Sinica(English Series);2005年04期

5 ;A Landesman-Lazer Type Theorem for Periodic Solutions the Resonant Asymmetric p-Laplacian Equation[J];Acta Mathematica Sinica(English Series);2005年05期

6 翟義然;堯德中;;A Study on the Finite Difference Approach of the Surface Laplacian[J];Journal of Electronic Science and Technology of China;2006年01期

7 ;Asymptotic behavior of the solutions of the p-Laplacian equation[J];Science in China(Series A:Mathematics);2006年06期

8 Gregory A.CHECHKIN;Rustem R.GADYL’SHIN;;On Boundary-Value Problems for the Laplacian in Bounded Domains with Micro Inhomogeneous Structure of the Boundaries[J];Acta Mathematica Sinica(English Series);2007年02期

9 王保合;蘇華;;具p-Laplacian非線性奇異邊值系統(tǒng)正解的存在性[J];山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版);2007年04期

10 ;Positive Solutions of p-Laplacian Functional Difference Equations[J];數(shù)學(xué)季刊;2007年04期

相關(guān)會(huì)議論文 前10條

1 Benshi Zhu;;Positive Solutions for P-Laplacian Discrete Boundary Value Problems via Three Critical Points Theorem[A];Proceedings of 2011 International Conference on Computer Science and Information Technology(ICCSIT 2011)[C];2011年

2 ;Synchronization of Networked Systems and Laplacian-Spectrum Modification[A];第二十六屆中國控制會(huì)議論文集[C];2007年

3 ;The Chromatic Number and the Second Largest Eigenvalue of the Laplacian Matrix of a Graph[A];第六屆中國青年運(yùn)籌與管理學(xué)者大會(huì)論文集[C];2004年

4 盧天;陳飛武;;Bond Order Analysis Based on the Laplacian of Electron Density in Fuzzy Overlap Space[A];中國化學(xué)會(huì)第29屆學(xué)術(shù)年會(huì)摘要集——第15分會(huì)：理論化學(xué)方法和應(yīng)用[C];2014年

5 Bruno Lévy;;Spectral Geometry Processing with Manifold Harmonics[A];第四屆全國幾何設(shè)計(jì)與計(jì)算學(xué)術(shù)會(huì)議論文集[C];2009年

6 Takashi Shioya;;Measure concentration and eigenvalues of Laplacian[A];Proceedings of 2011 Nanjing Conference on Metric Geometry and Applications in Memory of Professor Jianguo Cao[C];2011年

7 Yu Pan;Li Chai;Yuxia Sheng;;Computation and Optimization of Frame Bounds for the Laplacian Pyramid[A];第25屆中國控制與決策會(huì)議論文集[C];2013年

8 Jiachang Sun;;On Two and Three Variables Trigonometric Surfaces and Orthogonal Polynomials Over Some Irregular Domains[A];中國幾何設(shè)計(jì)與計(jì)算新進(jìn)展2007——第三屆中國幾何設(shè)計(jì)與計(jì)算大會(huì)論文集[C];2007年

9 ;Laplacian Spectral Properties of Complex Networks[A];第二十九屆中國控制會(huì)議論文集[C];2010年

10 Gregor Weingart;;Bochner identities for G_2 and Spin_7 manifolds[A];Proceedings of Nanjing Workshop on Geometry and Analysis 2005[C];2005年

相關(guān)博士學(xué)位論文 前9條

1 鄧波;圖的兩類拓?fù)渲笜?biāo)問題研究[D];福州大學(xué);2013年

2 陳太勇;幾類分?jǐn)?shù)p-Laplacian方程邊值問題的可解性[D];中國礦業(yè)大學(xué);2016年

3 姬超;涉及p(x)-Laplacian的一些變分問題[D];蘭州大學(xué);2009年

4 張杰;圖的拉普拉斯與無符號(hào)拉普拉斯矩陣[D];上海交通大學(xué);2014年

5 杜文學(xué);隨機(jī)圖的能量和Laplacian能量[D];南開大學(xué);2010年

6 曹玉珍;體表勢(shì)時(shí)空分析與測(cè)量方法研究[D];天津大學(xué);2007年

7 賴永秀;音樂速度變化感知的腦電研究[D];電子科技大學(xué);2010年

8 趙芹;圖中結(jié)構(gòu)及拓?fù)鋮?shù)研究[D];華中師范大學(xué);2013年

9 沈小玲;圖譜的相關(guān)問題研究[D];湖南師范大學(xué);2012年

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前10條

1 張瑜;帶有p-Laplacian算子的離散分?jǐn)?shù)階差分邊值問題解的存在性[D];延邊大學(xué);2015年

2 喻琴;一類P-Laplacian方程和一類熱傳導(dǎo)方程組解的性質(zhì)[D];西華師范大學(xué);2015年

3 黃雪毅;Laplacian整譜圖的刻畫[D];新疆大學(xué);2015年

4 唐敏;若干分?jǐn)?shù)階p-Laplacian方程邊值問題解的存在性的上下解方法[D];中國礦業(yè)大學(xué);2015年

5 李春景;帶p-Laplacian算子的三階多點(diǎn)邊值問題正解的存在性[D];河北科技大學(xué);2014年

6 魯和龍;退化的加權(quán)p(x)-Laplacian發(fā)展方程的全局吸引子[D];蘭州大學(xué);2016年

7 黃晶;基于電阻距離條件下的圖參數(shù)與圖結(jié)構(gòu)研究[D];華中師范大學(xué);2016年

8 彭湘凌;帶p-Laplacian算子的非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性[D];南華大學(xué);2016年

9 潘曉麗;含p（x）-Laplacian的擬線性橢圓方程組解的存在性[D];哈爾濱工業(yè)大學(xué);2007年

10 趙輝;有界區(qū)域上p（x）-Laplacian問題解的存在性[D];哈爾濱工業(yè)大學(xué);2006年

，

本文編號(hào)：2521697