發(fā)布時(shí)間：2019-07-25 15:11

【摘要】：關(guān)于Maass尖形式的傅立葉系數(shù)問(wèn)題吸引了很多學(xué)者的關(guān)注并且得到了廣泛的研究[9,21].本文利用自守L-函數(shù)的零點(diǎn)密度估計(jì),Abel分部求和公式,Vaughan恒等式,指數(shù)和估計(jì)等方法,我們研究了 Maass尖形式的傅立葉系數(shù)在素變數(shù)指數(shù)和中的均值,在Ramanujan-Petersson猜想成立和猜想不成立時(shí)分兩種情況討論,這豐富了關(guān)于傅立葉系數(shù)性質(zhì)的結(jié)果.設(shè)f(z)為完全模群SL(2,Z)上的具有拉普拉斯特征值1/4+r2的Maass尖形式,則f(z)在尖點(diǎn)∞處的傅立葉展開(kāi)式為f(z)=2(?)af(n)Kir(2π|n|y)e(nx),其中Kir為K-Bessel函數(shù)且af(n)表示其第n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化的傅立葉系數(shù).當(dāng)σ =(?)s 1時(shí),我們定義關(guān)于f(z)的Hecke L-函數(shù)為(1.1) L(f, s) =(?)αf(n)n-s=(?)(1-αf(p)p-s)-1(1 - βf(p)p-s)-1,這里的αf(p)和β∫(p)為在p的局部根且αf(p)+βf(p) = af(p), αf(p)βf(p) = 1.對(duì)于Maass尖形式來(lái)說(shuō),我們還不知道廣義的Ramanujan-Petersson猜想是否成立,即是否對(duì)任意的ε 0,都有af(n)nε成立.目前最好的結(jié)果是由Kim和Sarnak[1]得到的,即αf(n)n1/64+ε.由局部根αf(p)和βf(p),我們可以得到(1.2) αf(pk)=(?)αf(pk-j)βf(pj),(?)為了方便后面的計(jì)算,我們可以將上式改寫(xiě)為為了將L(f,s)與素?cái)?shù)聯(lián)系起來(lái),我們?cè)贚(f,s)表達(dá)式中取對(duì)數(shù)可得本文中我們定義μ(n,f)為L(zhǎng)(f,s)-1的第n個(gè)系數(shù),聯(lián)合f(z)的傅立葉系數(shù)我們可以得到(1.4) L(f,s)-1=(?)μ(n,f)n-8,(1.5) μ(n,f)=(?)μ(s)μ2(st)αf(s).1985年,Vinogradov[2]首次研究了S(x) =(?)Λ(n)e(α(?)),這里的A(n)為Mangoldt函數(shù),他證明了S(x) x7/8+ε.在此基礎(chǔ)之上,很多學(xué)者對(duì)其結(jié)果進(jìn)行了改進(jìn)[5,6],本文中我們也推廣了Λ(n)指數(shù)求和問(wèn)題,即研究Maass尖形式對(duì)應(yīng)的L-函數(shù)對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的系數(shù)Λ(n,f)與特征e(α(？))(其中α ≥ 0 )乘積的均值估計(jì),即Sf(x)=(?)Λ(n,f)e(α(?)), x≥2.(?)易知Sf(x)=(?)αf(p)logp e(α(?)) + O(x1/2logx).目前我們并不知道Maass尖形式對(duì)應(yīng)的Ramanujan-Petersson猜想是否成立,所以本文中我們分別在猜想成立和猜想不成立時(shí)進(jìn)行了討論,在猜想不成立的情況下,結(jié)果稍微差一些,這是因?yàn)樵诓孪氤闪⒌那闆r下,我們能夠運(yùn)用(3.7)式,而在猜想不成立情況下,我們無(wú)法運(yùn)用(3.7)式,這使得Maass尖形式的傅立葉系數(shù)在素變數(shù)指數(shù)和中的均值估計(jì)更加困難.當(dāng) Ramannujan-Petersson 猜想成立時(shí):定理1 當(dāng)α 0,x ≥ 2時(shí),對(duì)任意小的ε 0,我們有Sf(x) =(?)Λ(n,f)e(α(?)) x5/6+ε,這里隱含的常數(shù)依賴于α及尖形式f.當(dāng)Ramanujan-Petersson猜想不成立時(shí):定理2 當(dāng)0 α x-17/36, x≥ 2時(shí),對(duì)任意小的ε 0,我們有Sf(x)=(?)Λ(n,f)e(α(?))《x17/18+ε這里隱含的常數(shù)依賴于α及尖形式f.
【學(xué)位授予單位】：山東師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O174.2

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本文編號(hào)：2519164