【摘要】：關于Maass尖形式的傅立葉系數(shù)問題吸引了很多學者的關注并且得到了廣泛的研究[9,21].本文利用自守L-函數(shù)的零點密度估計,Abel分部求和公式,Vaughan恒等式,指數(shù)和估計等方法,我們研究了 Maass尖形式的傅立葉系數(shù)在素變數(shù)指數(shù)和中的均值,在Ramanujan-Petersson猜想成立和猜想不成立時分兩種情況討論,這豐富了關于傅立葉系數(shù)性質的結果.設f(z)為完全模群SL(2,Z)上的具有拉普拉斯特征值1/4+r2的Maass尖形式,則f(z)在尖點∞處的傅立葉展開式為f(z)=2(?)af(n)Kir(2π|n|y)e(nx),其中Kir為K-Bessel函數(shù)且af(n)表示其第n個標準化的傅立葉系數(shù).當σ =(?)s 1時,我們定義關于f(z)的Hecke L-函數(shù)為(1.1) L(f, s) =(?)αf(n)n-s=(?)(1-αf(p)p-s)-1(1 - βf(p)p-s)-1,這里的αf(p)和β∫(p)為在p的局部根且αf(p)+βf(p) = af(p), αf(p)βf(p) = 1.對于Maass尖形式來說,我們還不知道廣義的Ramanujan-Petersson猜想是否成立,即是否對任意的ε 0,都有af(n)nε成立.目前最好的結果是由Kim和Sarnak[1]得到的,即αf(n)n1/64+ε.由局部根αf(p)和βf(p),我們可以得到(1.2) αf(pk)=(?)αf(pk-j)βf(pj),(?)為了方便后面的計算,我們可以將上式改寫為為了將L(f,s)與素數(shù)聯(lián)系起來,我們在L(f,s)表達式中取對數(shù)可得本文中我們定義μ(n,f)為L(f,s)-1的第n個系數(shù),聯(lián)合f(z)的傅立葉系數(shù)我們可以得到(1.4) L(f,s)-1=(?)μ(n,f)n-8,(1.5) μ(n,f)=(?)μ(s)μ2(st)αf(s).1985年,Vinogradov[2]首次研究了S(x) =(?)Λ(n)e(α(?)),這里的A(n)為Mangoldt函數(shù),他證明了S(x) x7/8+ε.在此基礎之上,很多學者對其結果進行了改進[5,6],本文中我們也推廣了Λ(n)指數(shù)求和問題,即研究Maass尖形式對應的L-函數(shù)對數(shù)導數(shù)的系數(shù)Λ(n,f)與特征e(α(？))(其中α ≥ 0 )乘積的均值估計,即Sf(x)=(?)Λ(n,f)e(α(?)), x≥2.(?)易知Sf(x)=(?)αf(p)logp e(α(?)) + O(x1/2logx).目前我們并不知道Maass尖形式對應的Ramanujan-Petersson猜想是否成立,所以本文中我們分別在猜想成立和猜想不成立時進行了討論,在猜想不成立的情況下,結果稍微差一些,這是因為在猜想成立的情況下,我們能夠運用(3.7)式,而在猜想不成立情況下,我們無法運用(3.7)式,這使得Maass尖形式的傅立葉系數(shù)在素變數(shù)指數(shù)和中的均值估計更加困難.當 Ramannujan-Petersson 猜想成立時:定理1 當α 0,x ≥ 2時,對任意小的ε 0,我們有Sf(x) =(?)Λ(n,f)e(α(?)) x5/6+ε,這里隱含的常數(shù)依賴于α及尖形式f.當Ramanujan-Petersson猜想不成立時:定理2 當0 α x-17/36, x≥ 2時,對任意小的ε 0,我們有Sf(x)=(?)Λ(n,f)e(α(?))《x17/18+ε這里隱含的常數(shù)依賴于α及尖形式f.
【學位授予單位】：山東師范大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O174.2

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