【摘要】：1906年,Birkhoff提出了一類更廣泛的多項式插值問題,其典型特征是某些插值結點上的微商條件是不連續(xù)的.正是這種不連續(xù)性使之變的更加復雜,該問題被稱為Birkhoff插值Birkhoff插值有著廣泛的應用背景,例如微分方程邊值問題的求解,有限元的構造等等,此外它也是解決應用密碼學的分級(圖像)秘密共享問題的重要工具之一.與人們熟知的Lagrange和Hermite插值相比,Birkhoff插值理論遠沒有達到完善的地步,事實上,一元Birkhoff插值問題尚有許多問題未能解決,人們對于多元Birkhoff插值就知之更少了.雖然國內外諸多學者對該問題開展了較廣泛的研究,但基本上是針對特殊的插值問題,例如結點的特殊分布,或者結點上的微商插值條件一致等這類問題.Lorentz在1992年提出的多元Birkhoff插值格式,其中定義插值條件的微分算子是單項微分算子.本文中將研究的問題拓展為具有多項式微分插值條件的多元Birkhoff插值,并分別從以下三個方面展開了討論：1)給定插值空間和插值條件,判定插值格式的正則性；2)給定插值結點和插值條件,求適定的插值基；3)給定插值結點和插值條件,求結點在給定誤差范圍內攝動時的穩(wěn)定單項基.具體工作如下：在第二章中,提出了更一般的n元Birkhoff插值格式,與1992年Lorentz提出的多元Birkhoff插值格式相比,插值條件由單項式微分條件推廣為多項式微分條件,從而使得研究的問題更廣泛.給定插值格式,判定其正則性一直以來是研究者們關注的問題.本章中給出了如何僅從定義插值條件的關聯(lián)矩陣中獲取插值格式正則性信息的兩個結論：插值格式幾乎正則的一個必要條件和正則的一個充分條件.定義1. n元Birkhoff插值格式(Z,E,PS)包含三個部分：(1)一組結點集Z,(2)插值空間Ps,其中S=[t1,…,tl]是一個按分次字典序排列的單項序列,k≤l.(3)包含m個子矩陣的關聯(lián)矩陣E,其中不含零行,問題1.對任意給定的型值cij∈R,與插值格式(Z, E, PS)對應的插值問題為求多項式F∈PS滿足插值條件D=[D1,…,Dl]為單項序列s對應的微分算子序列,中的每一行對應著結點zi上的一個插值條件,Lji為最中第j行所對應的插值條件泛函.令|E|表示矩陣E的行數(shù),也即插值條件個數(shù).若插值條件個數(shù)|E|等于插值空間的維數(shù)dim PS,則稱插值問題1是規(guī)范的.本文中考慮的都是規(guī)范的插值問題.對任意給定的型值,問題1是否有唯一解依賴于結點集的分布.若對任意分布的結點集,問題1都有唯一解,則稱插值格式(Z, E, PS)是正則的;若對幾乎所有的結點集分布Rmn中的Lebesgue測度下),問題1都有唯一解,則稱插值格式(Z, E, PS)是幾乎正則的：若對任意分布的結點集,問題1都不存在唯一解,則稱插值格式(Z,E,PS)是奇異的.對給定的插值格式,如何僅從關聯(lián)矩陣的自身性質出發(fā)獲取插值格式正則性的信息,是本章主要探討的問題,主要得到了以下兩個結果：定理1.令S=[t1,…,tl]為按分次字典序排列的單項序列,E為定義插值條件的關聯(lián)矩陣.若插值格式(Z,E,PS)是幾乎正則的,則E滿足廣義的Polya條件.定理2.若關聯(lián)矩陣E能通過特定初等行變換約化為一個上三角矩陣E,且E的對角元為非零常數(shù),則插值格式(Z,E,PS)是正則的.在第三章中,我們分別討論了一般性Birkhoff插值和兩類特殊的Birkhoff插值的適定性問題.問題2.令S=[t1,…,tl]是一個按分次字典序排列的單項序列,D=[D1,…,Dl]為與之對應的微分算子序列,是給定的插值結點集,為關聯(lián)矩陣,其中且不含零行,中第j行所對應的插值條件泛函記為LjiBirkhoff插值問題可以描述為求一組插值基,使得對任給的型值在這組基張成的插值空間(?)中都存在唯一的多項式f滿足插值條件滿足上述性質的插值基稱為適定的插值基,相應地,插值空間(?)稱為適定的插值空間.由于插值條件可由關聯(lián)矩陣E和單項序列S唯一確定,因此本章所討論的Birkhoff插值問題可簡記為(Z,E,S).由關聯(lián)矩陣E和單項序列S所確定的插值條件泛函Lji,(j=1,…,ji,i=1,…,m),并不總是線性無關的,因此在本章中首先討論了給定關聯(lián)矩陣時,插值問題2有解的充要條件,并在有解時,給出了計算其分次序下極小插值單項基的BMMB算法.隨后定義了一個單項序列S的正則子鏈,并證明了當關聯(lián)矩陣具有某些好的性質時,其適定的插值基可以由關聯(lián)矩陣和單項序列S直接確定.定理3.給定插值問題(Z,E,S),其中S=[t1,…,tl]為按分次字典序(?)排列的單項序列.結點集關聯(lián)矩陣每個子矩陣Ei為一個非零行向量,即中的非零元素對應著序列S的一個單項子序列,記為Si,t=1,…,m.若下述條件成立,(1)關聯(lián)矩陣E的每一列中至多有一個非零元素;(2)[S1,S1,…,.Sm]為單項序列S的正則鏈,則多項式集恰為適定的插值基.本章的最后,討論了一類特殊的Birkhoff插值問題,其中每個結點上的插值條件都相同,為一多項式微分算子D,稱這樣的插值為一致Birkhoff插值,簡記為(Z,D).對給定的一致Birkhoff問題(Z,D),給出了插值空間適定的充要條件：定理4.給定一致插值問題(Z,D),子空間為(?)的一致微分子空間,其中gi=D(fi)則(?)為適定的插值空間當且僅當g1,g2,…,gm線性無關,且插值節(jié)點不同時落在空間(?)中的任何一個代數(shù)流形上.在第四章中,考慮結點的攝動,提出了多元Birkhoff插值問題穩(wěn)定單項基的概念并給出了相應的算法.在現(xiàn)實生活中,通過實驗測量得到的數(shù)據是不精確的,通過精確算法求得的單項基,在結點發(fā)生微小的攝動時,會使得插值問題不存在唯一解,即這組基對攝動后的插值問題不再是適定的.因此,求一組單項基,使得當插值結點在一定誤差范圍內攝動時,插值基依然保持適定是十分必要的.這樣的單項基稱之為穩(wěn)定的單項基.2008年,Abbot等人提出了SOI算法計算消逝理想的穩(wěn)定的邊界基.本章中,基于SOI算法,提出了計算Birkhoff插值穩(wěn)定單項基的算法.
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【學位授予單位】：吉林大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O241.3

【參考文獻】

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本文編號：2485949