【摘要】：本文主要研究廣義方程的求解問題.對非光滑型廣義方程,提出了精確和非精確的非光滑型算法,同時在一定的假設(shè)條件下,分析了算法的收斂性；對于光滑的欠定型廣義方程,提出了廣義高斯-牛頓迭代法,分析了其收斂性.主要內(nèi)容分兩章.在第二章中,結(jié)合文[64]中廣義牛頓迭代法和文[50]中廣義Jacobian-based牛頓迭代法,提出求解非光滑型廣義方程的精確和非精確算法.這些算法都是用廣義Jacobian矩陣代替Frechet導數(shù)得到的.在函數(shù)半光滑的條件下,對這兩種算法我們分別給出不同的假設(shè)條件,證明了算法的半局部收斂性包括線性收斂,超線性收斂,平方收斂以及l(fā)+p階收斂.進一步,在證明算法的局部收斂性結(jié)果的同時,給出了解的存在性和唯一性結(jié)果.最后,將精確方法應(yīng)用于變分不等式問題,同時舉出一個具體的例子進行數(shù)值實驗,數(shù)值結(jié)果說明了精確算法的可行性和收斂性.在第三章中,我們考慮欠定型廣義方程,即：函數(shù)的Frechet導數(shù)所對應(yīng)的矩陣為行滿秩的情形.由于在此情形下,用廣義牛頓迭代法得不到唯一的迭代點,因此我們考慮廣義高斯-牛頓迭代法,即求每一步迭代過程中范數(shù)最小的解.考慮到對大規(guī)模問題,用精確的算法求解范數(shù)最小的解時難度比較大,所以我們只考慮函數(shù)的Frechet導數(shù)所對應(yīng)的矩陣為行滿秩的情況.由于函數(shù)是光滑的,且我們是在有限維空間內(nèi)進行研究,這就保證了迭代過程中廣義方程范數(shù)最小解的存在性,同時也說明我們的算法是良定義的.在Frechet導數(shù)滿足經(jīng)典Lipschitz條件下,結(jié)合優(yōu)函數(shù)的技巧,得到了Kantorovich型定理,同時得到了其局部收斂性結(jié)果.進一步,當函數(shù)條件減弱為滿足L-平均的Lipschitz條件下,證明了算法的半局部收斂性和局部收斂性.最后,作為應(yīng)用我們將結(jié)果應(yīng)用于一些特殊情形,如：函數(shù)滿足經(jīng)典的Lipschitz條件時得到了Kantorovich型準則；函數(shù)滿足γ-條件下的收斂結(jié)果和函數(shù)在解析條件下的Smale點估計定理.
[Abstract]:In this paper, the problem of solving generalized equations is studied. For non-smooth generalized equations, a precise and imprecise non-smooth algorithm is proposed. Under certain assumptions, the convergence of the algorithm is analyzed. In this paper, a generalized Gao Si-Newton iterative method is proposed for smooth underdefined generalized equations, and its convergence is analyzed. The main contents are divided into two chapters. In the second chapter, combined with the generalized Newton iterative method in [64] and the generalized Jacobian-based Newton iterative method in [50], the exact and imprecise algorithms for solving non-smooth generalized equations are proposed. These algorithms are obtained by using generalized Jacobian matrix instead of Frechet derivative. Under the condition that the function is semi-smooth, we give different hypotheses for the two algorithms, and prove that the semi-local convergence of the algorithm includes linear convergence, superlinear convergence, square convergence and l p-order convergence. Furthermore, while proving the local convergence result of the algorithm, the existence and uniqueness of the solution are given. Finally, the exact method is applied to variational inequality problem, and a concrete example is given to carry on the numerical experiment. The numerical results show the feasibility and convergence of the exact algorithm. In chapter 3, we consider an underdefined generalized equation where the matrix corresponding to the Frechet derivative of a function is a row full rank. In this case, the generalized Newton iteration method can not get the unique iteration point, so we consider the generalized Gao Si-Newton iteration method, that is, to find the minimum norm solution in each iteration process. For large-scale problems, the exact algorithm is difficult to solve the minimum norm solution, so we only consider the case where the matrix corresponding to the Frechet derivative of the function is a row-full rank. Because the function is smooth and we study it in the finite dimensional space, this ensures the existence of the minimum solution of the norm of the generalized equation in the iterative process, and also shows that our algorithm is well-defined. Under the condition that the Frechet derivative satisfies the classical Lipschitz condition, the Kantorovich type theorem is obtained and the local convergence result is obtained by combining the technique of the optimal function. Furthermore, the semi-local convergence and local convergence of the algorithm are proved when the function condition is weakened to satisfy the L-means Lipschitz condition. Finally, as an application, we apply the results to some special cases, such as: the Kantorovich type criterion is obtained when the function satisfies the classical Lipschitz condition; the convergence result of the function satisfies the 緯-condition and the Smale point estimation theorem of the function under the analytic condition.
【學位授予單位】：浙江大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.6

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本文編號：2466593