【摘要】：隨著科學(xué)的快速發(fā)展,越來(lái)越多的物理、化學(xué)和生物過(guò)程可以用非線性發(fā)展方程或者電磁場(chǎng)方程來(lái)描述.在許多情況下這些系統(tǒng)是保守的,因此如何為這些系統(tǒng)設(shè)計(jì)高效且能保持系統(tǒng)守恒量的算法一直是計(jì)算科學(xué)的研究熱點(diǎn).本博士學(xué)位論文致力于幾類非線性發(fā)展方程的局部保結(jié)構(gòu)算法(多辛算法,局部能量、動(dòng)量守恒算法)和三維Maxwell方程高效保結(jié)構(gòu)算法的研究及其數(shù)值分析.主要研究成果包括：1)辛算法以及全局保能量、動(dòng)量等傳統(tǒng)保結(jié)構(gòu)算法在處理偏微分方程時(shí),除了要考察方程是否是保守系統(tǒng)外,還必須考慮邊界條件是否適當(dāng),只有在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下才可以使用這些保結(jié)構(gòu)算法.為了增加保結(jié)構(gòu)算法的適用范圍,我們以耦合非線性Schrodinger系統(tǒng)、Boussinesq系統(tǒng)和Klein-Gordon-Schrodinger系統(tǒng)為研究對(duì)象,為其構(gòu)造了一系列的局部保結(jié)構(gòu)算法,包括多辛算法,局部能量、動(dòng)量守恒算法.這些局部保結(jié)構(gòu)算法能在任何時(shí)、空區(qū)域上保持離散的局部守恒律.當(dāng)邊界條件適當(dāng)時(shí),這些局部保結(jié)構(gòu)算法自然就是全局保結(jié)構(gòu)算法,反之不然.除此之外,我們還分析了其中一些局部保結(jié)構(gòu)算法的非線性穩(wěn)定性和收斂性.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明局部保結(jié)構(gòu)算法不但能得到較好的數(shù)值解,而且確實(shí)能保持系統(tǒng)的局部守恒律和全局守恒律.通過(guò)與文獻(xiàn)中已有的數(shù)值算法比較,展現(xiàn)了本文算法的優(yōu)點(diǎn).2)三維Maxwell方程具有雙哈密爾頓結(jié)構(gòu).應(yīng)用譜方法離散哈密爾頓函數(shù)和哈密爾頓算子,再對(duì)所得到的有限維哈密爾頓系統(tǒng)用平均向量場(chǎng)方法求積,從而我們得到求解三維Maxwell方程的兩個(gè)格式(下稱“AVF(2)”和"AVF(4)"). AVF(2)和AVF(4)自動(dòng)保持系統(tǒng)的兩個(gè)哈密爾頓.我們證明了AVF(2)和AVF(4)保持離散的能量、動(dòng)量和散度.數(shù)值色散分析表明它們是無(wú)條件穩(wěn)定的且無(wú)耗散的.嚴(yán)格的誤差分析表明AVF(2)和AVF(4)分別在時(shí)問(wèn)方向具有二階和四階收斂性,在空間方向都具有譜精度.數(shù)值實(shí)驗(yàn)很好地證實(shí)了理論分析結(jié)果.3)AVF(2)和AVF(4)是通過(guò)直接離散Maxwell方程得到的,計(jì)算時(shí)編程實(shí)現(xiàn)比較復(fù)雜.為了設(shè)計(jì)更高效的保能量算法,我們利用指數(shù)算子分裂和組合的技巧分別得到逼近Maxwell方程的時(shí)間二階和四階分裂方法.這些分裂模型的每個(gè)子問(wèn)題都是哈密爾頓系統(tǒng)且和原問(wèn)題具有相同的哈密爾頓函數(shù).對(duì)每個(gè)子問(wèn)題,分別應(yīng)用譜方法離散哈密爾頓函數(shù)及哈密爾頓算子,進(jìn)而應(yīng)用平均向量場(chǎng)方法求積所得的有限維哈密爾頓系統(tǒng),從而得到時(shí)間二階和四階分裂格式(下稱"S-AVF(2)"和"S-AVF(4)").我們證明了S-AVF(2)和S-AVF(4)能同時(shí)保持4個(gè)離散能量且是無(wú)條件穩(wěn)定的.此外,利用離散的傅里葉變換,我們還可以將所得格式寫成顯式形式.借助于能量分析方法,我們得到了S-AVF(2)和S-AVF(4)的誤差估計(jì).數(shù)值實(shí)驗(yàn)證實(shí)了理論分析結(jié)果.
[Abstract]:With the rapid development of science, more and more physical, chemical and biological processes can be described by nonlinear evolution equations or electromagnetic field equations. In many cases, these systems are conservative, so how to design efficient and conservative algorithms for these systems has been a hot topic in computational science. This dissertation is devoted to the study and numerical analysis of locally conserved algorithms for nonlinear evolution equations (multi-symplectic algorithm, local energy, momentum conservation algorithm) and three-dimensional Maxwell equation efficient structure-conserving algorithm. The main research results are as follows: 1) in dealing with partial differential equations, the symplectic algorithm and the traditional conserved structure algorithms such as global conserving energy and momentum must consider not only whether the equation is a conservative system, but also whether the boundary conditions are appropriate. These algorithms can only be used under proper boundary conditions. In order to increase the applicability of structure-preserving algorithm, we construct a series of local structure-preserving algorithms for coupled nonlinear Schrodinger system, Boussinesq system and Klein-Gordon-Schrodinger system, including multi-symplectic algorithm, local energy, and local energy. Momentum conservation algorithm. These locally structure-preserving algorithms can maintain discrete local conservation laws in the space domain at any time. When the boundary conditions are appropriate, these local structure preserving algorithms are naturally global preserving algorithms, otherwise they are not. In addition, we also analyze the nonlinear stability and convergence of some locally conserved algorithms. Numerical experiments show that the locally conserved structure algorithm can not only obtain a good numerical solution, but also preserve the local conservation law and global conservation law of the system. The advantages of the proposed algorithm are demonstrated by comparing with the existing numerical algorithms in the literature. 2) the three-dimensional Maxwell equation has a double Hamiltonian structure. The Hamiltonian function and Hamiltonian operator are discretized by spectral method, and then the finite dimensional Hamiltonian system is quadrature by the mean vector field method. Thus, we obtain two schemes for solving three dimensional Maxwell equations (AVF (2) and AVF (4). AVF (2) and AVF (4) automatically hold the two Hamiltonian systems. We prove that AVF (2) and AVF (4) maintain discrete energy, momentum and divergence. Numerical dispersion analysis shows that they are unconditionally stable and nondissipative. The strict error analysis shows that AVF (2) and AVF (4) have the second order and fourth order convergence respectively in the time direction and the spectral accuracy in the space direction. The results of theoretical analysis are well confirmed by numerical experiments. 3) AVF (2) and AVF (4) are obtained by direct discrete Maxwell equations. In order to design a more efficient energy preserving algorithm, we obtain time second order and fourth order splitting methods for approximating Maxwell equations by using the techniques of exponential operator splitting and combination, respectively. Each subproblem of these splitting models is a Hamiltonian system and has the same Hamiltonian function as the original problem. For each subproblem, the Hamiltonian function and Hamiltonian operator are discretized by spectral method, and then the finite dimensional Hamiltonian system is obtained by means of the average vector field method. The second and fourth order splitting schemes are obtained (S-AVF (2) and S-AVF (4). We prove that S-AVF (2) and S-AVF (4) can maintain four discrete energies at the same time and are unconditionally stable. In addition, using discrete Fourier transform, we can write the obtained scheme into explicit form. By means of energy analysis, we obtain the error estimates of S-AVF (2) and S-AVF (4). The results of theoretical analysis are confirmed by numerical experiments.
【學(xué)位授予單位】：南京師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175.2

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本文編號(hào)：2410040