【摘要】：分數(shù)階微積分理論已經(jīng)有近四個世紀的發(fā)展歷程.起初由于和經(jīng)典的整數(shù)階微積分體系在很多方面存在矛盾,且又缺乏實際背景的支持,所以一直處于進展緩慢的初始階段;在數(shù)學家Mandelbrot指出自然界存在大量分數(shù)階的事實以后,分數(shù)階理論又步入了進展加速的轉(zhuǎn)折時期；隨著分數(shù)階學術(shù)專著的出現(xiàn),學術(shù)會議的召開和學術(shù)雜志的發(fā)行,分數(shù)階微積分理論自此步入進展迅猛的發(fā)展階段.分數(shù)階微分模型具有非局部性質(zhì)和記憶性質(zhì),可以用較少的參數(shù)刻畫具有實際應用背景的數(shù)學模型,從而克服了整數(shù)階微分模型理論與實驗結(jié)果吻合不好,誤差較大的嚴重缺點.但是,目前學者們在分數(shù)階微積分理論的很多問題上還存在著分歧,國際上的學術(shù)爭論也不斷的出現(xiàn).因此,對于分數(shù)階微積分系統(tǒng)的研究具有非常重要的理論和現(xiàn)實意義.本文討論若干非線性分數(shù)階微分系統(tǒng)的初邊值問題的解.第一章介紹了本文所研究問題的歷史背景,研究意義,研究現(xiàn)狀以及本文所做的主要工作.第二章研究了一類半線性分數(shù)階發(fā)展系統(tǒng)的完全控制性問題.首先給出該系統(tǒng)的一個新的完全控制性的定義,在不要求半群{T(t)：t≥0}的緊性以及非線性項的緊性,李普希茲連續(xù)性和其它的增長條件,而只要求其連續(xù)性的條件下,利用預解算子理論,Kuratowski's非緊性測度, Sadovskii's不動點定理和Monch不動點定理,討論了所給系統(tǒng)的完全控制性.所獲結(jié)果推廣和改進了目前現(xiàn)有的一些研究成果.第三章討論了兩種類型的高階分數(shù)階耦合微分系統(tǒng).首先考慮一類導數(shù)項與非線性項互相耦合的Caputo型高階分數(shù)階微分系統(tǒng),通過研究Green函數(shù)的性質(zhì)建立一個合適的錐,利用積分算子沿此錐在護和∞處的可微性和有界正線性算子的譜理論,結(jié)合錐上的不動點指數(shù)理論,我們給出了一些解的存在性定理.其次考慮一類積分邊值條件互相耦合的Riemann-Liouville型高階分數(shù)階微分系統(tǒng),利用非線性抉擇理論,Krasnoselskii's不動點定理和錐上的不動點指數(shù)理論,我們求出了系統(tǒng)中參數(shù)λ的一個取值區(qū)間,使得只要λ位于這個區(qū)間內(nèi),那么該系統(tǒng)至少具有兩個正解.第四章考慮兩類非線性分數(shù)階微分系統(tǒng)邊值問題多解的存在性.首先考慮一類非線性項依賴于導數(shù)項的分數(shù)階微分系統(tǒng),通過求解Green函數(shù),研究其性質(zhì),從而建立一個合適的錐,分別利用Guo-Krasnoselskii's不動點定理,Leggett-Williams不動點定理和一個推廣的Krasnoselskii's不動點定理給出了該系統(tǒng)多解的刻畫.其次利用錐上的微分算子方法研究一類具積分邊值條件和參數(shù)的分數(shù)階微分方程的多解,其中所涉及的方法還有有界正算子的譜理論,有界線性逆算子理論以及錐上的不動點指數(shù)理論等.第五章在Banach空間中研究了一類具有脈沖影響的奇異微分方程邊值問題的特征值問題.首先利用一個巧妙的變換技巧克服了脈沖項和參數(shù)所帶來的干擾,其次通過建立一個特殊的錐,采用逼近技巧避開奇異性的干擾,最后在滿足不同的假設條件下,通過利用錐上的不動點指數(shù)理論,非緊性測度理論給出了若干個特征值問題的判定定理.考慮到無窮維Banach空間的抽象性,我們給出了主要結(jié)果的一個具體應用.所研究的問題和使用的方法推廣和改進了現(xiàn)有的一些研究成果.
[Abstract]:......
【學位授予單位】：山東師范大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O175.8

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本文編號：2409604