發(fā)布時間：2018-12-28 16:15

【摘要】：積分方程廣泛應用在信號傳送、生物數(shù)學、斷裂力學、原子物理、神經(jīng)網(wǎng)絡、交通運輸?shù)缺姸喙こ炭茖W的數(shù)學模型中,所以對積分方程的研究是非常有意義的,特別是第二類Fredholm積分方程。現(xiàn)階段的研究都還主要集中在一維和二維,然而三維問題,是一個熱點問題,也是一個難點問題,現(xiàn)在研究文獻還比較欠缺。本文針對二維和三維的第二類Fredholm積分方程分別提出了基于Chebyshev多項式逼近理論的配置法和求積法的快速數(shù)值算法。對二維第二類Fredholm積分方程,結合Chebyshev多項式的性質,利用配置法提出了針對二維第二類Fredholm積分方程的一種快速有效的高精度算法,即用Chebyshev多項式來近似未知函數(shù)和核函數(shù),再選取Gauss-Chebyshev-Lobatto結節(jié)點作為配置點,生成離散代數(shù)方程組,最后用Newton迭代法求解方程組得到原方程的數(shù)值近似解。對三維第二類Fredholm積分方程,本文先用常見的數(shù)值積分公式Gauss公式來離散方程,并在Chebyshev-Gauss網(wǎng)格中用多項式來近似核函數(shù),最終轉化成矩陣向量的計算,最后用Jacobi迭代法求解線性方程組,最終得到方程的近似數(shù)值解。其實,上述方法還有很多可以改進的地方,如最后采用余弦向量迭代法求解方程組,采用分裂外推對網(wǎng)格加密,提高近似解的精度等。對于這兩種方法,本文都給出了相關的誤差和收斂性分析。最后,數(shù)值算例驗證理論分析。
[Abstract]:Integral equations are widely used in many mathematical models of engineering science, such as signal transmission, bio-mathematics, fracture mechanics, atomic physics, neural network, transportation and so on, so the study of integral equations is of great significance. In particular, the second kind of Fredholm integral equation. At present, the research is mainly focused on one and two dimensions. However, the three dimensional problem is a hot and difficult problem. In this paper, a fast numerical algorithm of collocation method and quadrature method based on Chebyshev polynomial approximation theory is proposed for two-dimensional and three-dimensional Fredholm integral equations of the second kind, respectively. For the two-dimensional Fredholm integral equation of the second kind, combined with the properties of the Chebyshev polynomial, a fast and efficient algorithm for the two-dimensional Fredholm integral equation is proposed by using the collocation method, that is, the Chebyshev polynomial is used to approximate the unknown function and the kernel function. Then the Gauss-Chebyshev-Lobatto nodule point is selected as the collocation point to generate the discrete algebraic equations. Finally, the numerical approximate solution of the original equation is obtained by Newton iterative method. For the Fredholm integral equation of the second kind, this paper first uses the common numerical integral formula Gauss formula to discretize the equation, and approximates the kernel function with polynomial in the Chebyshev-Gauss mesh, and finally transforms it into the calculation of matrix vector. Finally, the Jacobi iterative method is used to solve the linear equations, and the approximate numerical solutions of the equations are obtained. In fact, the above methods can be improved, such as using cosine vector iterative method to solve the equations, using split extrapolation to encrypt the mesh, and improving the accuracy of approximate solution. For these two methods, this paper gives the error and convergence analysis. Finally, numerical examples verify the theoretical analysis.
【學位授予單位】：電子科技大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O241.8

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本文編號：2394164