【摘要】：本文我們考慮的是如下2 - β (0 β 1)階分數(shù)階擴散方程,-(θ0D1x-β+ (1 - θ)xD11-β)(K(x)Dc) =f,x∈Ω = (0,1),(0.0.1)c(0) = c(1) = 0.這里未知函數(shù)c表示污染物的濃度,K(x)是擴散項系數(shù),有正的上下界0 Kmin K(x) Kmax +∞ ,x ∈ (0, 1),f j L2(Ω)是源項或匯項,0 ≤ θ ≤ 1表示粒子向前相對于向后轉(zhuǎn)移的概率.D = d/dx是一階導(dǎo)數(shù)算子,0D1-βx和xD1-β1分別表示1 - β階的左、右Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)算子.本文通過引入通量函數(shù)u =-K(x)Dc作為中間變量,對變系數(shù)雙邊分數(shù)階擴散方程推導(dǎo)了一種混合型Galerkin變分形式,在空間H10(Ω)×H1-β/2(Ω)上證明變分解的存在唯一性.在對解有一定正則性假設(shè)下,建立了(0.0.1)和變分形式的等價性.然后基于混合型Galerkin變分格式的好的性質(zhì)的基礎(chǔ)上,在通常所用的有限元空間上推導(dǎo)了混合型有限元離散格式,并且證明有限元解的存在唯一性以及給出未知函數(shù)和中間變量的誤差估計.由于分數(shù)階微積分算子的非局部性,由分數(shù)階擴散方程的數(shù)值方法產(chǎn)生的系數(shù)矩陣通常為滿陣或稠密矩陣.傳統(tǒng)的求解方法需要O(N3)的計算量和O(N2)的存儲量,其中N為網(wǎng)格節(jié)點.在對混合型有限元格式求解過程中,我們發(fā)現(xiàn)混合有限元格式所形成的系數(shù)矩陣具有特殊結(jié)構(gòu).系數(shù)矩陣由四個分塊小矩陣構(gòu)成,其中一個零陣、兩個三對角的稀疏矩陣以及一個具有Toeplitz-like結(jié)構(gòu)的矩陣.通過引入快速傅里葉變換,結(jié)合共軛梯度法我們構(gòu)造出了每次迭代計算量為O(N log N)以及相應(yīng)的存儲量為O(N)的快速共軛梯度法.同樣的,為了減少迭代次數(shù),我們又對快速共軛梯度法做了進一步的改進,引入了預(yù)處理技術(shù),構(gòu)造了預(yù)條件快速共軛梯度算法,減少了迭代次數(shù),同時保證了收斂精度.并且我們可以證明預(yù)條件的快速算法的總計算量仍然為O(N log N).本文提供的數(shù)值算例也驗證了該快速算法的良好性質(zhì).
[Abstract]:In this paper, we consider the following fractional diffusion equations of order 2- 尾 (0 尾 1)-(胃 0D1x- 尾 (1- 胃) xD11- 尾) (K (x) Dc) = fnx 鈭，

本文編號：2356602