發(fā)布時(shí)間：2018-11-20 08:35

【摘要】：周期性在自然界中是一個(gè)非常常見的現(xiàn)象.現(xiàn)實(shí)世界里有許多現(xiàn)象都在不同程度上表現(xiàn)出某種周期性,因此關(guān)于周期性的相關(guān)理論一直是動(dòng)力系統(tǒng)理論研究中的核心課題之一.但并不是所有的自然現(xiàn)象都可以用單純的周期性來描述,在周期解的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的擬周期解、概周期解、幾乎自守解等概念很好地描述了一些在時(shí)間上近似周期的自然現(xiàn)象.事實(shí)上,有一些系統(tǒng)的模型不僅具有時(shí)間上的周期性,而且具有空間上的對(duì)稱性.Y Li等人在研究連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)周期解的過程中提出了仿射周期性的概念,并稱具有仿射周期性的系統(tǒng)為仿射周期系統(tǒng),證明了連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)仿射周期解的存在性.離散動(dòng)力系統(tǒng)的周期性問題同樣是人們所廣泛關(guān)注的課題,本篇博士論文主要討論了離散動(dòng)力系統(tǒng)的仿射周期軌道的存在性問題.在第一章中,我們給出了離散的(Q,N)-仿射周期系統(tǒng),以及(Q,N)-仿射周期軌道等基本概念,這些基本概念在后面的研究中有著重要的作用.對(duì)于離散動(dòng)力系統(tǒng)xn+1-xn=f(n,xn),(0.0.1)其中n∈N,f:N×Rm→Rm關(guān)于xn連續(xù).若有N∈N+,Q∈GL(m),滿足f(n+N,x)=Qf(n,Q-1x)(?)(n,x)∈N×Rm.則稱系統(tǒng)(0.0.1)為(Q,N)-仿射周期系統(tǒng).在第二章中,我們討論了(Q,N)-仿射周期系統(tǒng)(0.0.1)的仿射周期軌道存在性,其中Q∈O(m)在2.1節(jié)中,借助于系統(tǒng)(0.0.1)的輔助系統(tǒng)xn+1-xn=λf(n,xn),(0.0.2)其中n∈N,f:N×Rm→Rm關(guān)于xn連續(xù),Q∈O(m),λ∈[0,1]我們給出了系統(tǒng)(0.0.1)的仿射周期軌道的存在性定理,其具體內(nèi)容如下：定理0.0.1設(shè)D (?) Rm是一個(gè)有界開集.若輔助系統(tǒng)(0.0.2)滿足下面條件(H1)對(duì)每個(gè)λ∈[0,1],系統(tǒng)(0.0.2)的每個(gè)可能的仿射周期軌道{xnn∈N}滿足xn≠(?)D,n∈N；(H2)當(dāng)Ker(,一Q)≠{0}時(shí),Brouwer度deg(g,D∩Ker(I-Q),0)≠0,其中g(shù)(a)=1/N∑k=0N-1Pf(k,a),P:Rm→Ker(I-Q)是正交射影.則系統(tǒng)(0.0.1)至少存在一個(gè)(Q,N)-仿射周期軌道.通過構(gòu)造同倫映射,利用拓?fù)涠壤碚?我們?cè)?.1節(jié)對(duì)定理0.0.1進(jìn)行了證明.這個(gè)定理提供了一種在理論上研究仿射周期軌道的存在性的拓?fù)浞椒?在實(shí)際應(yīng)用中,為了能更加直接地判斷仿射周期軌道的存在性,我們利用定理0.0.1的結(jié)果在2.2節(jié)中得到了兩個(gè)基于Lyapunov函數(shù)方法的結(jié)論,具體內(nèi)容如下：定理0.0.2考慮系統(tǒng)(0.0.1).若存在函數(shù)Vi:Rm→R,i=0,1,2,…,l和σ0,使得(H3)對(duì)于足夠大的Mi,有|(%絍i(xn),f(n,xn))|≥σ0 (?)|xn|≥Mi,i=0,1,2,…,l,n∈N.并且當(dāng)Ker(I-Q)≠{0}時(shí),對(duì)于任意的xn∈Ker(I-Q),都有|(%絍i(xn),Pf(n,xn)|≥σ0 (?)xn∈Ker(I-Q);|xn|≥Mi,i=0,1,2,…,l,其中n∈N,P:Rm→Ker(I-Q)是一個(gè)正交射影；(H4)若(%絍i(xn),f(n,xn))0,則Hessian矩陣((?)2V/(?)xi(?)xi)是半正定的,若%絍i(xn),f(n,xn)0,則Hessian矩陣((?)2V/(?)xi(?)xj)是半負(fù)定的；(H5)當(dāng)|xn|→∞時(shí),(H6)當(dāng)Ker(I-Q)≠{0}時(shí),Brouwer度deg(%絍0,BM0∩Ker(I-Q),0)≠0,其中Bρ={p∈Rm:|p|ρ}.則系統(tǒng)(0.0.1)至少存在一個(gè)(Q,N)-仿射周期軌道.定理0.0.3考慮系統(tǒng)(0.0.1).若存在C1函數(shù)V：D→R滿足(H7)D(?)Rm是一個(gè)有界開集;(H8)存在一個(gè)正常數(shù)σ,使得%絍(xn),f(n,xn)≥σ(?)(n,xn)∈N×(?)D;并且當(dāng)Ker(I-Q)≠{0}時(shí),%絍(xn),Pf(n,xn)≥σ(?)(n,xn)∈N×(?)(D∩Ker(I-Q));其中P:Rm→Ker(I-Q)是一個(gè)正交射影；(H9)當(dāng)Ker(I-Q)≠{0}時(shí),Brouwer度deg(%絍(xn),D∩Ker(I-Q),0)≠0.則系統(tǒng)(0.0.1)至少存在一個(gè)(Q,N)-仿射周期軌道{xn*:n∈N},且對(duì)于任意的n∈N,都有xn*∈D.上面兩個(gè)結(jié)果分別從不同的方向給出了利用Lyapunov函數(shù)判斷仿射周期軌道存在性的判別條件,我們?cè)谶@一節(jié)中還給出了定理0.0.2的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例.不變域原理是研究微分方程周期解的重要方法,但用不變域原理研究擬周期解或概周期解的成果很少.在2.3節(jié)中,我們證明了一個(gè)離散仿射周期系統(tǒng)上的不變域原理.仿射周期軌道可以在某種程度上看作是擬周期的,因此我們的定理拓寬了不變域原理的應(yīng)用范圍.這一定理的具體內(nèi)容如下：定理0.0.4設(shè)D(?)Rm為一個(gè)有界的單連通開集,D的邊界(?)D分段光滑.對(duì)于系統(tǒng)(0.0.1),記函數(shù)f的殼為H(f).若下面條件成立(H10)對(duì)于任意的(n,p)∈N×(?)D以及h∈H(f),h(n,p)都指向D的內(nèi)部;(H11)令其中P:Rm→Ker(I-Q)是一個(gè)正交射影.對(duì)于所有的α∈(?)D,都有g(shù)(α)≠0.則系統(tǒng)(0.0.1)至少存在一個(gè)(Q,N)-仿射周期軌道{xn*:n∈N},且對(duì)于任意的n∈N,都有xn*∈D.在微分方程定性理論中,具有某種穩(wěn)定性的系統(tǒng)是否蘊(yùn)含著某種有界解是人們通常關(guān)心的問題,例如某系統(tǒng)具有穩(wěn)定性,那么該系統(tǒng)是否存在周期解、擬周期解或概周期解?我們?cè)诘谌轮凶C明了一個(gè)關(guān)于離散(Q,N)-仿射周期系統(tǒng)(0.0.1)的更加直觀的,基于不動(dòng)點(diǎn)理論的關(guān)于穩(wěn)定仿射周期軌道存在性的結(jié)果,其中Q∈O(m).定理0.0.5考慮系統(tǒng)(0.0.1).設(shè)a：N→R+\{0},滿足r=limk→∞akN1.若下面條件成立(H12)系統(tǒng)(0.0.1)存在一個(gè)軌道{zn：n∈N];(H13)任何兩個(gè)軌道{xn,x0:n∈N|,{yn,yn:n∈N},滿足|xn,x0-yn,y0|≤ an|x0-y0|,n∈N.則系統(tǒng)(0.0.1)存在唯一漸近穩(wěn)定的(Q,N)-仿射周期軌道.定理0.0.6考慮系統(tǒng)(0.0.1).若系統(tǒng)(0.0.1)是漸近穩(wěn)定的,則系統(tǒng)(0.0.1)有唯一漸近穩(wěn)定的(Q,N)-仿射周期軌道.耗散系統(tǒng)作為一種重要的系統(tǒng)廣泛地存在于自然界當(dāng)中,對(duì)于耗散系統(tǒng)的周期性研究在理論和應(yīng)用中有著重要的意義.在第四章中,我們主要研究了離散(Q,N)-仿射耗散系統(tǒng)的周期軌道的存在性,其中Q∈GL(m)主要結(jié)論如下：定理0.0.7若系統(tǒng)(0.0.1)是仿射耗散系統(tǒng),則系統(tǒng)(0.0.1)存在(Q,N)-仿射周期軌道.
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【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175

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本文編號(hào)：2344415