發(fā)布時(shí)間：2018-11-14 09:51

【摘要】：近幾十年來(lái),數(shù)學(xué)工作者十分關(guān)注一些偏微分方程解的存在性、唯一性、正則性等方面的問(wèn)題,尤其是對(duì)非線性橢圓方程解的研究.本文在加權(quán)Sobolev空間框架下,討論了幾類常指數(shù)和變指數(shù)情形下的橢圓方程解的存在性與非存在性,研究的內(nèi)容包括非線性退化橢圓方程解的存在性與非存在性、帶有退化強(qiáng)制項(xiàng)的橢圓方程重整化解和熵解的存在性、帶有零階項(xiàng)的非線性p(x)-Laplace方程重整化解和熵解的存在性以及一般的非線性橢圓方程熵解和重整化解的存在性.第一章是緒論部分,我們敘述了本文所研究問(wèn)題的背景和國(guó)內(nèi)外的相關(guān)研究工作,并闡述了我們所要討論的問(wèn)題以及所使用的方法,并介紹加權(quán)Sobolev空間的一些知識(shí).在第二章中,我們?cè)诩訖?quán)Sobolev空間中研究一類非線性橢圓方程Dirichlet邊值問(wèn)題弱解的存在性與非存在性.這里,Ω是RN(N≥2)中的有界區(qū)域,右端項(xiàng)μ=f-divF,其中f∈L1(Ω),(?)是一個(gè)在Ω上幾乎處處嚴(yán)格正的可測(cè)權(quán)函數(shù)向量,(?)滿足記W01,p(Ω,ω)為所有實(shí)值函數(shù)u ∈Lp(Ω,ω0)所構(gòu)成的空間,1p∞,其弱導(dǎo)數(shù)滿足賦予如下的Luxemburg范數(shù)此外,a,g滿足以下假設(shè):(A1)a(x,s,ξ)= {ai(x,s,ξ)}1≤i≤N:Ω× R×RN→RN 是一個(gè) Caratheodory 向量值函數(shù)且對(duì)任意的s∈R,幾乎所有的x∈Ω和每一個(gè)ξ∈RN,滿足其中κ(x)是Lp'(Ω)中的一個(gè)非負(fù)函數(shù),1/p+1/p'=1,σ為權(quán)函數(shù),c0,c1為正數(shù).(A2)g(x,s,ξ）是一個(gè)Caratheodory函數(shù),對(duì)任意的s∈R,幾乎所有的x∈Ω和一個(gè)ξ ∈RN,存在h,ρ0,使得成立.另外,g滿足下面的增長(zhǎng)性條件其中b:R+→R+是一個(gè)連續(xù)的增函數(shù),d(x)是L1(Ω)中的非負(fù)函數(shù).在第二章第一部分中,對(duì)于問(wèn)題(1)弱解存在性的研究,區(qū)別于其他文獻(xiàn)主要有兩個(gè)方面.第一,我們是在加權(quán)Sobolev空間中考慮問(wèn)題(1),這時(shí)的嵌入關(guān)系發(fā)生了很大的變化.第二,在其他文獻(xiàn)中g(shù)通常滿足如下的符號(hào)條件:對(duì)幾乎處處的x∈Ω,每一s ∈ R,以及所所有ξ∈的RN,有我們所要求g所滿足的符號(hào)條件(2)與(4)區(qū)別在于:條件(4)是對(duì)每一個(gè)s ∈ R都成立,而我們所要求的條件(2),只需當(dāng)|s|≥h(也就是|s|充分大)時(shí),條件(2)成立即可,對(duì)于當(dāng)|s|時(shí),符號(hào)條件是否成立我們不做要求.為此,我們首先對(duì)問(wèn)題(1)做截?cái)啾平?從而得到問(wèn)題(1)的逼近問(wèn)題.其次,考慮到符號(hào)條件(2),我們不能再選取類似于其他文獻(xiàn)的檢驗(yàn)函數(shù)去估計(jì)逼近解序列um,而是通過(guò)構(gòu)造了一個(gè)新的檢驗(yàn)函數(shù)得到逼近解序列un的先驗(yàn)估計(jì).最后,構(gòu)造適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)函數(shù)得到逼近解序列強(qiáng)收斂并對(duì)逼近問(wèn)題求極限,得到如下的弱解存在性結(jié)果:定理1.(弱解存在性)假設(shè)(A1),(A2)成立,則問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)弱解u.在第二章的第二部分中,當(dāng)方程的右端項(xiàng)僅僅是一個(gè)有界Radon測(cè)度μ∈Mb(Ω)時(shí),通常的辦法是將測(cè)度進(jìn)行分解,μ = μ0 + λ.定理1的結(jié)果表明當(dāng)λ = 0,μ = μ0 =f-divF時(shí),問(wèn)題(1)存在弱能量解.若設(shè)μ0 = 0,那么μ=λ關(guān)于p-容量集是奇異的,這時(shí)問(wèn)題(1)的解會(huì)發(fā)生怎樣的變化?為此,我們利用測(cè)度理論,證明了該問(wèn)題的非平凡解不能由逼近問(wèn)題解序列求極限得到,即若un在W01,p(Ω，ω)弱收斂于u,其中u是問(wèn)題(1)的解,則u≡0,其結(jié)果如下:定理2.(非存在性結(jié)果)設(shè)E是Ω中的Borel集,滿足capp(E,Ω)=0,λ∈Mb(Ω)是集中在E上的正測(cè)度,fn是L∞(Ω)中的非負(fù)函數(shù)序列滿足,g滿足條件(3),(4).設(shè)un是逼近方程的弱解,則存在κ0(與g,c0有關(guān)),使得進(jìn)而,un在W01,p(Ω,ω)弱收斂于0,且在第三章第一節(jié)中,我們?cè)诩訖?quán)Sobolev空間中考慮了一類帶有退化強(qiáng)制項(xiàng)和低階項(xiàng)的非線性橢圓問(wèn)題這里,Ω是RN(N≥2)中的有界區(qū)域,γ0,f∈L1(Ω),W01,p(Ω,ω),為加權(quán)Sobolev空間,ω(x)為權(quán)函數(shù),1p∞.此外,a,g滿足如下的假設(shè):(A3)a(x,ξ)= {ai(x,ξ)}1≤i≤N:Ω×RN →RN是Caratheodory 向量值函數(shù),滿足其中k(x)是LpL(Ω)中的一個(gè)正函數(shù),1/p+1/p'=1,α,β為正數(shù).(A4)g(x,s)是一個(gè)Caratheodory函數(shù),對(duì)幾乎所有的x∈Ω和每一個(gè)s ∈ R,有我們主要借助于截?cái)喾椒ㄑ芯繂?wèn)題(5)在W01,p(Ω,ω)中重整化解的存在性.強(qiáng)制性的缺失,低階項(xiàng)的存在(僅有部分增長(zhǎng)性條件),右端項(xiàng)可積性不高等困難,導(dǎo)致我們無(wú)法同第二章一樣去估計(jì)逼近解序列un.為此我們采用Marcinkiewicz估計(jì),在得到逼近解序列的截?cái)嗪瘮?shù)TkTun)先驗(yàn)估計(jì)的基礎(chǔ)上,證明出逼近解序列un依測(cè)度收斂,再通過(guò)抽子列的方式得到子列的幾乎處處收斂,并選取適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)函數(shù)對(duì)逼近解序列做出合適的估計(jì),最后通過(guò)取極限的方式,得出問(wèn)題(5)重整化解的存在性,其結(jié)果如下:定理3.(重整化解存在性)假設(shè)(A3),(A4)成立,f ∈L1(Ω),則問(wèn)題(5)至少存在一個(gè)重整化解u.下面我們將在加權(quán)變指數(shù)Sobolev空間中研究非線性橢圓問(wèn)題的重整化解或熵解的存在性.我們先介紹有關(guān)加權(quán)變指數(shù)Sobolev空間的定義.加權(quán)的變指數(shù)Lebesgue空間Lp(x)(Ω,ω),它是由所有滿足以下形式的可測(cè)函數(shù)組成賦予范數(shù)加權(quán)的變指數(shù)Sobolev空間Wk,p(x)(Ω,ω):對(duì)任意的正整數(shù)κ,記賦予范數(shù)為權(quán)函數(shù)ω(x)及變指數(shù)p(x)的假設(shè)如下：p(x)滿足log-Holder連續(xù)性條件.第三章的第二節(jié)中，我們?cè)诩訖?quán)變指數(shù)Sobolev空間中研究了一類帶有退化強(qiáng)制項(xiàng)和零階項(xiàng)的非線性p(x)-Laplace方程這里，Ω(?)RN(N≥2)是具有Lipschitz邊界(?)Ω的有界區(qū)域，γ(x)∈C(Ω),γ(x)≥0,ω(x)為權(quán)函數(shù)，f是L1(Ω)中的可測(cè)函數(shù)，g滿足如下假設(shè):(A7)g(x,s)是一個(gè)Caratheodory函數(shù)，對(duì)幾乎處處的;x∈Ω和任意的s∈R,有g(shù)(x,s)·s≥0,首先，方程第一項(xiàng)-div(?)不是強(qiáng)制的，導(dǎo)致我們無(wú)法在經(jīng)典意義下找到問(wèn)題(6)的弱能量解.其次，我們考慮了一個(gè)僅滿足部分增長(zhǎng)性條件的零階項(xiàng)同時(shí)右端項(xiàng)f僅在L1(Ω)中，，而不是在W-1,p'(x)(Ω)中.所有這些特征使得我們不能直接使用經(jīng)典的對(duì)偶理論和非線性單調(diào)算子理論.因此,我們主要采用截?cái)喾椒�，運(yùn)用加權(quán)變指數(shù)Sobolev空間的嵌入關(guān)系，并選取合適的檢驗(yàn)函數(shù)，通過(guò)對(duì)逼近解序列求極限的方式，得到問(wèn)題(6)熵解的存在性.這部分的結(jié)果如下：定理4.(熵解的存在性)假設(shè)(A5),(A6),(A7)成立,f是中的可測(cè)函數(shù),則問(wèn)題(6)至少存在一個(gè)熵解.在第四章中，我們?cè)诩訖?quán)變指數(shù)Sobolev空間W01,p(x)(Ω,w)中研究一類非線性p(x)-Laplace方程這里,Ω(?)RN(N≥2)是具有Lipschitz邊界(?)Ω的有界區(qū)域,ω(x)為權(quán)函數(shù),f是L1(Ω)中的可測(cè)函數(shù),g滿足假設(shè)條件(A7).這一章我們依然采用截?cái)喾椒▽?duì)逼近方程做估計(jì),但與常指數(shù)情形有很多不同.首先,經(jīng)常運(yùn)用的De Giorgi迭代,以及選用恰當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)函數(shù)能夠得出的逼近解序列un在L∞(Ω)中一致有界在這里是我們無(wú)法實(shí)現(xiàn)的.為了克服這個(gè)困難,我們運(yùn)用了變指數(shù)的Marcinkiewicz估計(jì),同時(shí)利用加權(quán)變指數(shù)Sobolev空間的一些嵌入,不僅可以得到逼近解序列un的幾乎處處收斂,還可以幫助我們處理方程的零階項(xiàng).并且通過(guò)選取合適的檢驗(yàn)函數(shù)及對(duì)逼近問(wèn)題求極限,證明出問(wèn)題(5)重整化解和熵解的存在性,其結(jié)果如下:定理5.(重整化解和熵解的存在性)假設(shè)(A5),(A6),(A7)成立,f是L1(Ω)中的可測(cè)函數(shù),則問(wèn)題(5)至少存在一個(gè)重整化解和一個(gè)熵解.在第五章中,我們?cè)诩訖?quán)變指數(shù)Sobolev空間中研究如下的非線性橢圓問(wèn)題這里,Ω(?)RN(N≥2)是具有Lipschitz邊界(?)Ω的有界區(qū)域,φ∈C0(R,RN),f∈L1(Ω),為加權(quán)Sobolev空間,ω(x)為權(quán)函數(shù).此外,a,p滿足以下假設(shè):是一個(gè)Caratheodory向量值函數(shù),對(duì)幾乎處處的x∈Ω和所有有((s,ξ)∈R×RN 滿足不等式其中k(x)是Lp'(x)(Ω)中的一個(gè)非負(fù)函數(shù),α,β為正數(shù).(A9)g:Ω×R×RN→R是一個(gè)Caratheodory函數(shù)且對(duì)幾乎處處的x∈Ω,任意的s∈R和所有的ξ∈RN,滿足不等式其中b:R+→ R+是一個(gè)連續(xù)且非增的函數(shù),c(x)是L1(Ω)中的非負(fù)函數(shù).我們?cè)诩訖?quán)變指數(shù)Sobolev空間框架下研究了一類非線性橢圓問(wèn)題熵解的存在性.首先,權(quán)函數(shù)的引入給本問(wèn)題的解決帶來(lái)了一定的困難,尤其是在空間的嵌入方面.其次,函數(shù)多沒(méi)有任何增長(zhǎng)條件,即使作為一個(gè)分布來(lái)講,方程中的這一項(xiàng)可能沒(méi)有意義.同時(shí)右端項(xiàng)可積性不高,這些讓我們無(wú)法尋找到問(wèn)題(8)的弱能量解.因而我們考慮問(wèn)題(8)的熵解和重整化解,主要借助于加權(quán)變指數(shù)Sobolev空間的嵌入關(guān)系,并選取合適的檢驗(yàn)函數(shù),得出Tk(un)的強(qiáng)收斂,通過(guò)取極限的過(guò)程我們得到了問(wèn)題(8)熵解的存在性.緊接著,我們又證明出熵解u同時(shí)也是問(wèn)題(8)的重整化解,其主要結(jié)果如下:定理6.(熵解的存在性)假設(shè)(A5),(A6),(A8),(A9)成立,f∈L1 Ω F ∈W-1,p'(x)(Ω,ω),那么問(wèn)題(8)至少存在一個(gè)熵解.定理7.(重整化解的存在性)假設(shè)(A5),(A6),(A8),(A9)成立,f∈L(Ω),F ∈W-1,p'(x)(Ω,ω*),則熵解u∈W01,p(x)(Ω,ω)是問(wèn)題(8)的一個(gè)重整化解。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O175.25

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本文編號(hào)：2330827