【摘要】：許多學(xué)者都對(duì)三元二次型m12+m22+m32的性質(zhì)非常感興趣。設(shè)x是一個(gè)正實(shí)數(shù)。在1963年,Vinogradov [19]和陳景潤(rùn)[4]分別獨(dú)立地研究了三維球u12+u22+u32≤x中的格點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,并且得到了以下漸近公式后來(lái),上式余項(xiàng)中的指數(shù)2/3被Chamizo和Iwaniec [2]改進(jìn)到29/44,后又被Heath-Brown[8]改進(jìn)到21/32。最近,一些學(xué)者開(kāi)始用不同的方法研究關(guān)于三元二次型的問(wèn)題。令π3(x)表示滿足下面條件的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù),(m1, m2, m3) ∈ Z3 且 m12+ m22 +m32= p ≤x.Friedlander 和 Iwaniec [5]證明了π3(x)～4π/3 x3/2/logx.這個(gè)結(jié)果可以看作是素?cái)?shù)定理的一個(gè)推廣。令∧(n)表示von Mangoldt函數(shù),即郭汝庭和翟文廣[6]研究了下述和式的漸近公式,S(x):=∑ ∧(m12+ m22 + m23)m12 +m22 +32≤x并且得到S(x) = 8C3I3X3/2 + O(x3/2log-A x),其中A 0是一個(gè)固定的常數(shù),且令f是在SL2(Z)上的Maass尖形式,其拉普拉斯特征值是1/4+υ2。將f正規(guī)化,令其傅里葉系數(shù)首項(xiàng)為1,那么f的傅里葉展開(kāi)式為其中Ks(y)是K-Bessel函數(shù),s=1/2+it。然后,我們定義關(guān)于f的L-函數(shù)為該級(jí)數(shù)在 Re s 1 時(shí)是收斂的(見(jiàn)[12])。應(yīng)用 K. Chandrasekharan 和 R. Narasimhan[3]中的一個(gè)定理,我們可以得到∑[λ(n)|2x.. (1.1)n≤x根據(jù)這個(gè)上界和柯西不等式,我們有∑|λ(n)|(∑|λ(n)|2)1/2(∑12)1/2x (1.2)n≤x n≤x n≤x(1.1)和(1.2)式中的這兩個(gè)結(jié)果將會(huì)在我們接下來(lái)的證明中用到。2015年,胡立群[9]研究了下述和式的漸近公式T(x) := ∑ λ(m12 + m22 +m32)∧( m12+m22+m32)m12+m22+m32≤x并且證明出T(x) x3/2 logc x,其中c 0是一個(gè)常數(shù)。2016年,G. Zaghloul[22]改進(jìn)了胡的結(jié)果,他證明了T(x)x3/2 exp(-c(?)),其中c是一個(gè)大于0的常數(shù)。1938年,華羅庚[10]證明出幾乎所有滿足n≡3( mod 24)且n(?)0( mod5)的整數(shù)都可以寫成三個(gè)素?cái)?shù)的平方和。后來(lái),很多學(xué)者得到了關(guān)于三素?cái)?shù)平方和的例外集問(wèn)題的結(jié)果(見(jiàn)[1],[13], [15],[17]等)。在本文中,我們將根據(jù)上述結(jié)果來(lái)研究與T(x)相似的問(wèn)題,并且可以得到以下結(jié)果。定理1.令丌λ,∧(x)=∑ λ(p12 +p22+ p32)∧(p12 +p22+ p32).p12+p22+p32≤x那么我們有πλ,∧(x) = O(x3/2 exp(-c(?)),其中c是一個(gè)大于0的常數(shù)。定理 2.當(dāng) k≥3 且 s min{2k-1, k2 + k - 2}時(shí),令S(x) = ∑λ(m1k + …+msk)∧(m1k+ …+ msk).m1k+…+msk≤x那么我們有S(x) = O(xs/k exp(-c'(?))),其中c'是一個(gè)大于0的常數(shù)。定理3.當(dāng)s ≥ 3時(shí),令π∧(x)=∑∧(m12+…+m2s).m12+…ms2≤x那么我們有π∧(x) = 2sCsIsxs2/s+ O(x2/s log-Ax),其中A是一個(gè)大于0的常數(shù),且為了證明以上定理,我們將采用經(jīng)典的圓法。由于我們不知道關(guān)于Maass尖形式的Ramanujan猜想是否成立,所以只能用Maass尖形式的傅里葉系數(shù)的均值估計(jì)。
[Abstract]:Many scholars are very interested in the properties of ternary quadratic form m 12 m 22 m 32. Let x be a positive real number. In 1963, Vinogradov [19] and Chen Jingrun [4] independently studied the number of lattice points in three dimensional ball U12 U22 U32 鈮，

本文編號(hào)：2275329