【摘要】：本文我們將用非線性泛函分析中的臨界點(diǎn)理論,變分法,Nehari流形等來(lái)研究如下擬拋物方程ut-a△ut-△u=f(u), x∈Q,t0,其中Ω是R~N中的開(kāi)集.當(dāng)a=0時(shí),上述方程就是經(jīng)典的熱傳導(dǎo)方程.當(dāng)a=1時(shí),作為擬拋物方程,它描述了許多重要的物理現(xiàn)象,如通過(guò)裂隙巖石的均勻流體的滲透,非線性長(zhǎng)色散波的單向傳播等.本文分六章.第一章主要介紹擬拋物方程的一些研究背景.國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀及本文的一些主要結(jié)果,在第二章中.我們將使用擾動(dòng)的勢(shì)井的方法研究下列具有一般源項(xiàng)的擬拋物方程初邊值問(wèn)題其中Ω是R~N中的有界光滑區(qū)域以及f滿(mǎn)足如下條件：(f_1)f:R→R是連續(xù)可微的、且存在常數(shù)C0以及p∈(2,2*),使得|f'(u)|≤C(1+|u|~(p-2)),u∈R,這里當(dāng)N≥3時(shí),2*=2N/(N-2);當(dāng)N=1,2時(shí).2*=∞；(f_2)f(u)u0,u∈R|{0}且存在θ1.使得f(u)/|u|~θ在(-∞,0)以及(0,∞)上都是嚴(yán)格遞增的.首先,我們證明了上述問(wèn)題在條件(f_1)下解的局部存在唯一性.常用的證明解的局部存在唯一性的工具有Galerkin方法與半群理論.用Galerkin方法證明解的局部存在唯一性.不僅需要做一些復(fù)雜的先驗(yàn)估計(jì),還需要證明一些收斂性.然而.利用這種方法僅能獲得解的存在性并不能得到解的具體的表達(dá)式.與這種方法相比,使用半群理論雖然可以得到解的表達(dá)式.但必須通過(guò)較長(zhǎng)的篇幅來(lái)驗(yàn)證相應(yīng)的算子能夠生成半群.在§2.2節(jié)中,通過(guò)使用橢圓正則性理論Sobolev嵌入以及Banach空間中的抽象常微分方程理論.我們得到了擬拋物方程初邊值問(wèn)題在條件(f_1)下解的局部存在唯一性定理.證明過(guò)程既避免了驗(yàn)證算子生成半群.又將解用一個(gè)不依賴(lài)于任何半群的新的積分形式重新表示出來(lái).同時(shí).我們還證明了兩個(gè)重要的恒等式.定理2.1.4設(shè)f滿(mǎn)足條件(f_1)以及u_0∈H_0~1(Ω),則問(wèn)題(2.1.1)具有唯一的弱解u∈C1([0,T),H_0~1(Ω))且u具有如下積分表達(dá)式以及其中T是u的最大存在時(shí)刻.進(jìn)一步,若T∞,則這里||u||12= ∫Ω[|%絬|2+u2],u∈H_0~1(Ω)此外,如下兩個(gè)恒等式成立以及其中J,I分別是問(wèn)題(2.1.1)的平衡態(tài)相應(yīng)的能量泛函與Nehari泛函.在§2.3節(jié)中,我們討論了問(wèn)題(2.1.1)解的全局存在性與爆破性并證明了如下定理.定理2.1.5設(shè)條件(f_1).(f_2)成立,u_0∈H_0~1(Ω)以及u=u(x,t；u_0)是問(wèn)題(2.1.1)的解而且其最大存在時(shí)刻記為T(mén).若J(u_0)≤d,則下列結(jié)論成立：(ⅰ)若I(u_0)0,則T=∞,且對(duì)所有滿(mǎn)足t0+[d-J(u_0)]0的t0∈R+=[0,∞),都存在ω=ω(t0)0,使得(ⅱ)若I(u_0)0,則T∞且u在T時(shí)爆破,即(ⅲ)若I(u_0)=0,J(uo)=d則u_0是問(wèn)題(2.1.1)的不穩(wěn)定的平衡解.定理2.1.5將Xu和Su在文獻(xiàn)[78]中對(duì)具有純冪源的擬拋物方程得到的結(jié)論推廣到了具有更一般的非線性源的情形.在這個(gè)過(guò)程中：我們用到了一族擾動(dòng)的泛函Iδ,流形Nδ以及下確界d(δ).通過(guò)利用隱函數(shù)定理,變分法以及Sobolev嵌入,我們首次證明了對(duì)所有的δ∈(0,(θ+1)/2),下確界d(δ)都是可達(dá)的.這個(gè)現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)有助于簡(jiǎn)化[78]中關(guān)于函數(shù)d(·)的單調(diào)性與連續(xù)性的證明.隨后,利用定理2.1.5.我們證明了問(wèn)題(2.1.1)的全局解的有界性與收斂性.定理2.1.7設(shè)條件(f_1)，(f_2)成立,u_0∈H_0~1(Ω)以及u=u(x,t；u_0)是問(wèn)題(2.1.1)的一個(gè)全局解,則u在H_0~1(Ω)中有界,即u∈L∞(R+,H_0~1(Ω))進(jìn)一步，存在{tn},c≥0以及u*∈Kc,使得tn→∞,且其中Kc={u∈H_0~1(Ω):J'(u)=0,J(u)=c}特別地,若u*是問(wèn)題(2.1.1)的一個(gè)孤立的臨界點(diǎn),則在第三章中,針對(duì)定理2.1.5的結(jié)論,我們提出并解決了三個(gè)問(wèn)題，同時(shí)還建立了保證擬拋物方程和拋物方程的解在有限時(shí)刻爆破的充分條件.第一個(gè)很自然的問(wèn)題就是在不假設(shè)J(u_0)≤d的前提下,I(u_0)0能否仍保證問(wèn)題(2.1.1)的解在其有限的最大存在時(shí)刻爆破?在§3.1節(jié)中,我們證明了對(duì)一類(lèi)特殊的f(即f(u)=|u|~(p-2)u-u)答案是肯定的.進(jìn)一步,通過(guò)將解決定的流與Nehari流形相結(jié)合,我們還獲得了一個(gè)使得問(wèn)題(3.1.1)的解在其有限的最大存在時(shí)刻爆破的充要條件.事實(shí)上,令N-={u∈H_0~1(Ω):I(u)0}則全空間H_0~1(Ω)可以分解為H_0~1(Ω)=S+uS-，其中S+={u_0∈H_0~1(Ω):u(t)(?)N-,t∈[0,T)}, S-={u_0∈H_0~1(Ω):存在t0∈[0,T),使得u(u_0)∈N_},這里字母S表示“源”.進(jìn)一步,我們可以證明定理3.1.2(i)設(shè)u_0∈H_0~1(Ω)以及u=u(x,t；u_0)是問(wèn)題(3.1.1)的一個(gè)解且其最大存在時(shí)刻為T(mén),則T∞當(dāng)且僅當(dāng)u_0∈S-.換言之,T∞當(dāng)且僅當(dāng)存在t0∈[0,T),使得I(u(t0))0.(ⅱ)0是問(wèn)題(3.1.1)的唯一的穩(wěn)定的平衡解.與先前的結(jié)論不同,定理3.1.2的(i)給出了關(guān)于問(wèn)題(3.1.1)的解的爆破性的一個(gè)尖利的判斷準(zhǔn)則.值得指出的是,這個(gè)準(zhǔn)則不是真正依賴(lài)于初值，而是與解相應(yīng)的軌道密切相關(guān)的.此外，注3.1.13證明了集合S-在由解u決定的流下是不變的.從這個(gè)意義上看,我們得到了解的爆破性和它的不變集有一定的聯(lián)系,這是個(gè)有趣的現(xiàn)象.目前，這部分內(nèi)容已被SCI核心期刊《Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics》接收.見(jiàn)[83].由于文獻(xiàn)[15]證明了第一個(gè)問(wèn)題的答案在對(duì)數(shù)源情形下(f(u)=ulog |u|)是否定的，我們不能期望對(duì)所有的f都證明I(u_0)0是擬拋物方程解在有限時(shí)刻爆破的充分條件.因此.第二個(gè)問(wèn)題就出現(xiàn)了：對(duì)于具有一般的非線性源項(xiàng)的擬拋物方程.能否找到一個(gè)合適的泛函I來(lái)代替I,使得I(u_0)0能保證問(wèn)題(2.1.1)的解在有限時(shí)刻爆破?當(dāng)然，這里要求{u∈H_0~1(Q):I(v)0,J(v)≥d)≠(?)在§3.2節(jié)中.對(duì)問(wèn)題(2.1.1)中(f_1),(f_2)成立的情形.我們證明滿(mǎn)足上述條件的泛函是存在的,同時(shí)也給出了與第二章中不同的保證解在有限時(shí)刻爆破的充分條件.事實(shí)上.定義泛函I為其中μ=θ+1,v=λ1/(1+λ1)以及則下列結(jié)論成立.定理3.2.1設(shè)條件(f_1),(f_2)成立,u_0∈H_0~1(Ω)\{0},u=u(x,t；u_0)是問(wèn)題(2.1.1)的解并記其最大存在時(shí)刻為T(mén).若I(u_0)≤0,則T∞,且u在時(shí)刻T時(shí)爆破.上述兩個(gè)問(wèn)題都關(guān)注的是擬拋物方程,第三個(gè)問(wèn)題是上述結(jié)論對(duì)于拋物方程是否仍然成立?因此，，我們?cè)凇?.3節(jié)中考慮了一類(lèi)經(jīng)典的熱方程初邊值問(wèn)題(3.3.1)解的爆破性.首先,我們說(shuō)明了定理3.1.2的結(jié)論對(duì)問(wèn)題(3.3.1)不成立.然后.受§3.2節(jié)研究方法的啟發(fā),對(duì)問(wèn)題(3.3.1),類(lèi)似于定理3.2.1,我們獲得了一個(gè)新的保證解在有限時(shí)刻爆破的充分條件，同時(shí)還得到了一個(gè)較大的爆破集.事實(shí)上，首先定義如下新泛函J*以及相應(yīng)的流形N*這里λ1是算子一△在H_0~1(Ω)中關(guān)于齊次Dirichlet邊界條件的第一特征值.進(jìn)一步,定義集合其中V={u∈H_0~1(Ω):I(u)0,J(u)d}接著.我們對(duì)問(wèn)題(3.3.1)建立了如下一個(gè)新的能夠保證解在其有限的最大時(shí)刻爆破的充分條件.定理3.3.3若u_0∈B,則問(wèn)題(3.3.1)的解u在其有限的最大存在時(shí)刻爆破.特別地,若J*(u_0)≤0,則解u在有限時(shí)刻爆破.根據(jù)[26,定理9]或[64,定理19.5,118頁(yè)],V是問(wèn)題(3.3.1)的一個(gè)爆破集.在§3.3節(jié),我們證明了B比V嚴(yán)格大.因此,定理3.3.3改進(jìn)了已有的關(guān)于拋物方程的爆破集的結(jié)論.這部分內(nèi)容已發(fā)表于《Applicable Analysis:An International Journal》見(jiàn)[82].在第四章中.我們考慮了R2中一類(lèi)具有指數(shù)源項(xiàng)的擬拋物方程初邊值問(wèn)題,即源項(xiàng)f滿(mǎn)足如下條件與(f_2)：(f'1)f∈C1(R,R)且f滿(mǎn)足次臨界指數(shù)增長(zhǎng)條件.即對(duì)每個(gè)β0都存在正常數(shù)Cβ,使得|f'(u)|,|f(u)|≤Cβeβu2,u∈R.根據(jù)條件(f_1')，源項(xiàng)f可以是一個(gè)指數(shù)函數(shù).這樣f在無(wú)窮遠(yuǎn)處不可能由冪函數(shù)控制住,即(f_1)不成立.因此.我們必須重新證明定理2.1.4,2.1.5,2.1.7以及定理3.2.1的結(jié)論對(duì)R2中問(wèn)題(1.2)中(f_1')與(f_2)成立的情形仍然成立.定理4.1.3設(shè)條件(f_1')成立以及u_0∈H_0~1(Q)則問(wèn)題(2.1.1)(也就是問(wèn)題(4.1.1))具有唯一的弱解u∈C1([0,T),H_0~1(Ω))這里T是u的最大存在時(shí)刻.特別地,若T∞,則l此外.恒等式(2.1.11)與(2.1.12)仍然成立,且解u還具有一個(gè)不依賴(lài)于半群的積分表達(dá)式.定理4.1.4設(shè)f滿(mǎn)足條件(f_1'),(f_2),u_0∈H_0~1(Ω)以及u=u(x,t;u_0)是問(wèn)題(4.1.1)的一個(gè)弱解而且其最大存在時(shí)刻是T.若J(uo)≤d,則下列結(jié)論成立：(ⅰi)若I(u_0)0.則T=∞.且對(duì)所有滿(mǎn)足t0+[d-J(uo)]0的非負(fù)數(shù)t0，都存在正常數(shù)ω=ω(t0),使得(ⅱ)若I(u_0)0,則T∞且u在T時(shí)爆破,即(ⅲ)若I(u_0)=0,J(u_0)=d則u_0是問(wèn)題(4.1.1)的一個(gè)不穩(wěn)定的平衡解.進(jìn)一步,我們獲得了如下一個(gè)保證具有指數(shù)型源項(xiàng)的擬拋物方程的解在有限時(shí)刻爆破的充分條件.定理4.1.5設(shè)f滿(mǎn)足條件(f'1),(f_2),u_0∈H_0~1(Ω)\{0}若I*(u_0)≤0,則解u在有限時(shí)刻爆破,其中I*(u)=||u||12-u∫ΩF(u),u∈H_0~1(Ω).據(jù)我們所知,對(duì)具有指數(shù)型源的擬拋物方程的研究成果還很少,目前,第四章的內(nèi)容已發(fā)表在《Communications on Pure and Applied Analysis》見(jiàn)[85].在第五章中,我們考慮了R3中一類(lèi)帶有非局部項(xiàng)的擬拋物方程的初邊值問(wèn)題其中Ω是R3中的有界光滑區(qū)域,p∈(2,6),a≥0,b=±1以及φu是按如下方式定義的非局部項(xiàng)這里G是由[23,§2.2.4(a),34頁(yè)]給出的與區(qū)域52相應(yīng)的格林函數(shù)以及對(duì)固定的x∈Ω.φx是滿(mǎn)足如下邊值問(wèn)題的一個(gè)修正函數(shù)我們將使用擾動(dòng)的勢(shì)井的方法來(lái)研究上述非局部問(wèn)題解的全局存在性與爆破性.注意到由于非局部項(xiàng)φ。的出現(xiàn),問(wèn)題(1.4)的解u依賴(lài)于其在整個(gè)Ω上的值.而不僅僅是一個(gè)逐點(diǎn)成立的方程.因此,我們不能直接利用§2.1節(jié)與§3.2節(jié)的結(jié)論.故我們有必要重新證明相應(yīng)的結(jié)論對(duì)非局部擬拋物方程的初邊值問(wèn)題(5.1.1)仍然成立.首先.在§5.2節(jié)中.我們證明了問(wèn)題(5.1.1)的解的局部存在唯一性定理仍然成立.定理5.1.2設(shè)u_0∈H_0~1(Ω),b=±1以及p∈[2,6],則問(wèn)題(5.1.1)具有唯一的弱解u∈C1([0,T),H_0~1(Ω))其中T是u的最大存在時(shí)刻.此外.u具有下列積分表達(dá)式以及進(jìn)一步,若T∞,則其次.在§5.3節(jié)中,我們證明了一個(gè)關(guān)于問(wèn)題(5.1.1)解的全局存在性與爆破性的重要定理.定理5.1.3設(shè)u_0∈H_0~1(Ω),u=u(x,t；u_0)是問(wèn)題(5.1.1)的解以及其最大存在時(shí)刻為T(mén).并設(shè)正數(shù)p滿(mǎn)足當(dāng)b=-1時(shí),p∈(4,6);當(dāng)b=1時(shí)，p∈(2,6).若J(u_0)≤d,則如下結(jié)論成立：(ⅰ)若I(uo)0.則T=∞,且對(duì)所有滿(mǎn)足to+[d-J(u_0)]0的t0∈R+,都存在ω=ω(to)0.使得(ⅱ)若I(u_0)0.則T∞且u在T時(shí)刻爆破,即(ⅲ)若I(u_0)=0,J(u_0)=d,則u_0是初邊值問(wèn)題(5.1.1)的不穩(wěn)定的平衡解.在第五章最后一節(jié),我們建立了問(wèn)題(5.1.1)的解在有限時(shí)刻爆破的一個(gè)判別準(zhǔn)則.令p=min{2,p/2}以及則下列結(jié)論成立.定理5.1.5設(shè)u_0∈H_0~1(Ω)\{0},p滿(mǎn)足當(dāng)b=-1時(shí),p∈(4,6);當(dāng)b=1時(shí).p∈(2,6).若I*(u_0)≤0,則問(wèn)題(5.1.1)的解在其有限的最大存在時(shí)刻爆破.在文獻(xiàn)[32]中,Ianni通過(guò)先驗(yàn)估計(jì)的方法考慮了初邊值問(wèn)題(5.1.1)在a=0,b=±1以及p∈(4,6)時(shí)局部解和全局解的存在性.因此,第五章完善了文獻(xiàn)[32]中的結(jié)論.目前,第五章的部分內(nèi)容已發(fā)表在《Mathematical Methods in the Applied Science》,見(jiàn)[84].在本文的最后一章中,我們將研究如下R3中具有臨界增長(zhǎng)型源的非局部擬拋物方程的平衡解其中λ∈R+以及g滿(mǎn)足如下條件：(g_1)g具有擬臨界增長(zhǎng),即(g_2)g(u)u0,u∈R.9(u)/|u|3在(-∞,0)以及(0,∞)上嚴(yán)格增,且這里G(u)=∫0ug(s)ds,u∈R.通過(guò)使用擾動(dòng)的方法,我們建立了上述問(wèn)題的最小能量的平衡解的存在性,也就是證明了臨界Schrodinger-Poisson系統(tǒng)(6.1.2)的基態(tài)解的存在性.第六章的主要結(jié)論是如下定理.定理6.1.1設(shè)條件(g_1),(g_2)成立,則存在λ00,使得當(dāng)λ∈[0,λ0)時(shí),系統(tǒng)(6.1.2)具有一個(gè)基態(tài)解.與文獻(xiàn)[81]不同,在定理6.1.1的證明過(guò)程中.對(duì)λ0的情形,通過(guò)尋找相應(yīng)的能量泛函Jλ的距離在J0的山路型臨界點(diǎn)很近的非平凡臨界點(diǎn),我們證明了系統(tǒng)(6.1.2)基態(tài)解的存在性.這個(gè)過(guò)程不再需要驗(yàn)證泛函Jλ滿(mǎn)足(PS)cλ條件,從而改進(jìn)了[81]中的證明方法.
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：山西大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類(lèi)號(hào)】：O175.26

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3 關(guān)衛(wèi)國(guó);一類(lèi)具周期源的退化拋物方程定性性質(zhì)之研究[D];集美大學(xué);2015年

4 沈慧穎;四階拋物方程幾類(lèi)問(wèn)題研究[D];大連交通大學(xué);2015年

5 林晨;帶變指標(biāo)反應(yīng)項(xiàng)的非線性退縮拋物方程解的研究[D];福建師范大學(xué);2015年

6 董曉麗;非局部拋物方程(組)解的爆破性質(zhì)[D];哈爾濱工業(yè)大學(xué);2015年

7 劉胡良;一類(lèi)拋物方程的吸引子問(wèn)題[D];南京大學(xué);2014年

8 劉超逸;具正初始能量非局部擬線性拋物方程變號(hào)解的爆破問(wèn)題[D];大連理工大學(xué);2015年

9 周�；�;退化拋物方程外區(qū)域問(wèn)題解的整體存在與爆破[D];江西師范大學(xué);2015年

10 黃小萍;關(guān)于幾類(lèi)非線性拋物方程組解性質(zhì)的研究[D];福州大學(xué);2013年

本文編號(hào)：2250222