【摘要】：本文研究拋物型方程(組)的幾種性質(zhì),包括解的局部存在性和唯一性,解的整體存在性,解的有限時(shí)刻爆破,解的生存跨度以及解的有限時(shí)刻熄滅等.第一章研究具有非齊次非局部邊界條件的拋物型方程組解的整體存在和有限時(shí)刻爆破性質(zhì).這里Ω是RN(N≥1)中具有光滑邊界的有界區(qū)域,參數(shù)p,q,r0. f(x,y),g(x,y)是定義在(?)Ω×Ω上的非負(fù)函數(shù).初值函數(shù)(uo(x),v0(x))∈C2+α(Ω),其中α∈(0,1),u0(x),vo(x)≥0,(?)0,并且滿足相容性條件.我們運(yùn)用壓縮映射和上下解的方法證明了如下結(jié)果：(i)假設(shè)p,q≤1,r≤1.對(duì)任意非負(fù)初值(u0,v0),解(u,v)是整體存在的.(ii)假設(shè)p,q1.如果r1且ho|Ω|Kmin{p,q}那么對(duì)于適當(dāng)大的初值(u0,vo),解(u,v)在有限時(shí)刻爆破.(iii)假設(shè)p1q或q1p.如果pq1,r≤1,并且對(duì)任意x∈aΩ,有(?)Ωf(x,y)dy≤1,fΩg(x,y)dy≤1,那么對(duì)適當(dāng)小的初值函數(shù)(u0,v0),解(u,v)是整體存在的.(iv)假設(shè)p1q或者q1p.如果pq1,r≥1,并且對(duì)任意x∈aΩ,有(?)Ω(x,y)dy≥1,(?)Ωg(x,y)dy≥1,那么對(duì)適當(dāng)大的初值(u0,v0),解(u,v)在有限時(shí)刻爆破.第二章研究具有非線性非局部邊界條件的反應(yīng)擴(kuò)散方程解的存在性和定性性質(zhì).其中參數(shù)p,q,l0,Ω是RN(N≥1)中具有光滑邊界的有界區(qū)域,v是邊界(?)Ω上的單位外法向量.c(x,t)是定義在Ω×[0,∞)上的正連續(xù)有界函數(shù).k(x,y,t)是定義在(?)Ω×Ω×[0,∞)上的正連續(xù)有界函數(shù).初值u0(x)∈C1(Ω),并且u0(x)≥0,≠0滿足相容性條件：當(dāng)x∈(?)Ω時(shí),有(?)=(?)Ωk(x,y,0)uOl(y)dy.我們運(yùn)用上下解的方法證明了如下結(jié)果：(i)假設(shè)p+q≤1,1≤1.對(duì)任意非負(fù)初值u0,解是整體存在的.(ii)假設(shè)p+q1,11.對(duì)適當(dāng)小的初值u0,解是整體存在的.(iii)假設(shè)p+q1,10.對(duì)任意正的初值u0,解在有限時(shí)刻爆破.(iv)假設(shè)min(p,q)1,l0.對(duì)適當(dāng)大的初值u0,解在有限時(shí)刻爆破.第三章研究非線性拋物型方程組解的生存跨度,其中常數(shù)p,q0,Ω是RN(N≥1)中具有光滑邊界aQ的有界區(qū)域.入是正參數(shù),函數(shù)φ(x)和φ(x)是Ω上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).我們借助于常微分方程的技巧和Kaplan的方法證明了如下結(jié)果：假設(shè)p,q0.如果初值φ,φ∈C(Ω)滿足如下條件：那么(i)如果qMφpMφ,有(ii)如果qMφpMφ,有第四章考慮反應(yīng)擴(kuò)散方程的解的熄滅性質(zhì)：其中0m1,p,q0.Ω是RN(N≥1)中的有界光滑區(qū)域,初值u0(x)∈ L∞(Ω)(?)W01,1+m(Ω)且u0(x)≥0,≠0.我們運(yùn)用Lp范數(shù)分析法和常微分方程的技巧以及上下解的方法證明了下列結(jié)果：(i)假設(shè)p+qm.對(duì)任何非負(fù)初值u0,最大解U(x,t)不會(huì)在有限時(shí)刻熄滅.(ii)假設(shè)p+q=m,aμm,qA1.對(duì)任意非負(fù)初值u0,最大解U(x,t)不會(huì)在有限時(shí)刻熄滅,其中aμm,q在后面文中定義.(iii)假設(shè)p+qm.(a)當(dāng)N2時(shí),如果初值u0適當(dāng)小,解在有限時(shí)刻熄滅.此外還有,若(N-2)/(N+2)m1,若0m(N-2)/N,其中C1,C2是常數(shù),在后文中定義.(b)當(dāng)N=1,2時(shí),如果初值u0適當(dāng)小,解在有限時(shí)刻熄滅.此外還有,(?)其中C3是常數(shù),在后文中定義.
[Abstract]:In this paper, we study some properties of parabolic equations, including the local existence and uniqueness of the solution, the global existence of the solution, the finite time blow-up of the solution, the survival span of the solution and the finite time quenching of the solution, etc. In chapter 1, we study the global existence and finite time blow-up of solutions of parabolic equations with nonhomogeneous nonlocal boundary conditions. Here 惟 is a bounded region with smooth boundary in RN (N 鈮，

本文編號(hào)：2230937