【摘要】：隨機(jī)常微分方程已經(jīng)廣泛應(yīng)用于金融系統(tǒng)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)、控制系統(tǒng)、系統(tǒng)生物等研究領(lǐng)域.由于隨機(jī)系統(tǒng)本身的復(fù)雜性,一般情況下很難得到方程解析解的顯式表達(dá)式.因此,對隨機(jī)常微分方程的數(shù)值方法進(jìn)行研究就顯得十分必要.本論文主要研究隨機(jī)常微分方程的數(shù)值方法,提出分裂步二步Maruyama方法、全隱式二步Maruyama方法和全隱式二步Milstein方法,并分別分析相應(yīng)數(shù)值方法的均方相容性、均方收斂性與均方線性穩(wěn)定性.另外,提出數(shù)值求解帶泊松跳的隨機(jī)常微分方程的二步Maruyama方法,分析該算法的均方相容性、均方收斂性與均方線性穩(wěn)定性.第一章,介紹隨機(jī)常微分方程的基本理論,簡單回顧隨機(jī)常微分方程數(shù)值解法的發(fā)展歷史與研究現(xiàn)狀,并說明本文的主要研究內(nèi)容和結(jié)果.第二章,簡要介紹概率論中的一些基礎(chǔ)知識,隨機(jī)過程和隨機(jī)積分的基本概念,以及Ito公式和Ito-Taylor展式的相關(guān)結(jié)論.第三章,提出數(shù)值求解隨機(jī)常微分方程的分裂步二步Maruyama方法,分析方法的均方相容性、均方收斂性及均方線性穩(wěn)定性,給出分裂步二步Adarms-Bashforth Maruya-ma方法和分裂步二步Adarms-Moulton Maruyama方法的均方線性穩(wěn)定性區(qū)域,并通過數(shù)值算例驗證算法的均方收斂性和均方穩(wěn)定性的理論結(jié)果.第四章,提出數(shù)值求解隨機(jī)常微分方程的全隱式二步Maruyama方法,分析其均方相容性、均方收斂性及均方線性穩(wěn)定性,給出全隱式二步Adams-Bashforth Maruyama方法和全隱式二步Adams-Moulton Maruyama方法的均方線性穩(wěn)定性區(qū)域.最后,通過數(shù)值算例驗證該算法的均方收斂性和均方穩(wěn)定性結(jié)果.第五章,提出數(shù)值求解隨機(jī)常微分方程的全隱式二步Milstein方法,對該方法的均方相容性、均方收斂性及均方線性穩(wěn)定性進(jìn)行分析,給出全隱式二步Adams-Bashforth Milstein方法和全隱式二步Adams-Moulton Milstein方法的均方線性穩(wěn)定性區(qū)域.數(shù)值例子表明理論結(jié)果的正確性.第六章,提出數(shù)值求解帶泊松跳的隨機(jī)常微分方程的二步Maruyama方法,分析該方法的均方相容性、均方收斂性及均方線性穩(wěn)定性,研究二步Adams-Bashforth Maruya-ma 和二步 Adams-Moulton Maruyama 方法的均方線性穩(wěn)定性區(qū)域.最后,通過數(shù)值例子驗證該算法的均方收斂性和均方穩(wěn)定性的理論結(jié)果.
[Abstract]:Stochastic ordinary differential equations have been widely used in the fields of financial system, quantity economy, control system, system biology and so on. Because of the complexity of the stochastic system itself, it is difficult to obtain the explicit expression of the analytic solution of the equation in general. Therefore, it is necessary to study the numerical method of stochastic ordinary differential equation. In this paper, the numerical methods of stochastic ordinary differential equations are studied. The split step two-step Maruyama method, the fully implicit two-step Maruyama method and the fully implicit two-step Milstein method are proposed, and the mean square compatibility of the corresponding numerical methods is analyzed respectively. Mean square convergence and mean square linear stability. In addition, a two-step Maruyama method for solving stochastic ordinary differential equations with Poisson hopping is presented. The mean square compatibility, mean square convergence and mean square linear stability of the algorithm are analyzed. In the first chapter, the basic theory of stochastic ordinary differential equation is introduced, and the development history and research status of numerical solution of stochastic ordinary differential equation are briefly reviewed, and the main contents and results of this paper are explained. In the second chapter, we briefly introduce some basic knowledge of probability theory, the basic concepts of stochastic process and stochastic integral, and the relevant conclusions of Ito formula and Ito-Taylor expansion. In chapter 3, a split step two-step Maruyama method for solving stochastic ordinary differential equations is presented. The mean square compatibility, mean square convergence and mean square linear stability of the method are analyzed. The mean square linear stability regions of split step two step Adarms-Bashforth Maruya-ma method and split step two step Adarms-Moulton Maruyama method are given, and the theoretical results of mean square convergence and mean square stability of the algorithm are verified by numerical examples. In chapter 4, a fully implicit two-step Maruyama method for solving stochastic ordinary differential equations is presented. The mean square compatibility, mean square convergence and mean square linear stability are analyzed. The mean square linear stability regions of the fully implicit two-step Adams-Bashforth Maruyama method and the fully implicit two-step Adams-Moulton Maruyama method are given. Finally, the mean square convergence and mean square stability of the algorithm are verified by numerical examples. In chapter 5, a fully implicit two-step Milstein method for solving stochastic ordinary differential equations is presented. The mean square compatibility, mean square convergence and mean square linear stability of the method are analyzed. The mean square linear stability regions of the fully implicit two-step Adams-Bashforth Milstein method and the fully implicit two-step Adams-Moulton Milstein method are given. Numerical examples show that the theoretical results are correct. In chapter 6, a two-step Maruyama method for solving stochastic ordinary differential equations with Poisson hopping is presented. The mean square compatibility, mean square convergence and mean square linear stability of the method are analyzed. The mean square linear stability region of two step Adams-Bashforth Maruya-ma and two step Adams-Moulton Maruyama methods is studied. Finally, a numerical example is given to verify the theoretical results of the mean square convergence and mean square stability of the algorithm.
【學(xué)位授予單位】：上海師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O241.81

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本文編號：2217272