【摘要】：緩增分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程是通過乘以緩增指數(shù)因子,修正了分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程,更好的描述自然界中生命力有限的微�；蛴邢蘅臻g中的反常擴(kuò)散現(xiàn)象。緩增冪律跳躍分布產(chǎn)生了緩增空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),緩增冪律等待時間得到了緩增時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),從而改善了分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的缺陷。近年來,緩增分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值算法引起人們研究興趣。本文主要研究了兩類不同參數(shù)的循環(huán)與反循環(huán)分裂迭代法,快速求解緩增分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值解。本文的主要工作如下:(1)對于緩增分?jǐn)?shù)階兩點邊值問題,利用緩增加權(quán)移位的Grünwald差分算子(tempered-WSGD)近似緩增Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),得到的線性系統(tǒng)中的系數(shù)矩陣是一個稠密、非對稱、具有Toeplitz結(jié)構(gòu)的矩陣。用循環(huán)與反循環(huán)分裂迭代法求解該Toeplitz系統(tǒng),在每次迭代時,通過使用快速傅里葉變換求解線性系統(tǒng),計算量僅需要O(Nlog N),N表示空間網(wǎng)格的節(jié)點個數(shù)。并詳細(xì)證明循環(huán)與反循環(huán)分裂迭代法是無條件收斂的,數(shù)值算例表明該算法是可行有效的快速算法。(2)對于擴(kuò)散系數(shù)相等的緩增分?jǐn)?shù)階兩點邊值問題,用tempered-WSGD對緩增Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階的左右導(dǎo)數(shù)進(jìn)行逼近,得到了一個對稱的、正定的,具有Toeplitz結(jié)構(gòu)的線性系統(tǒng)。利用雙參數(shù)循環(huán)與反循環(huán)分裂迭代法求解Toeplitz系統(tǒng),并對收斂性進(jìn)行了證明,且分析了雙參數(shù)的選取。數(shù)值算例表明快速算法的收斂速度快。(3)對于緩增分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程,用隱式的二階有限差分格式離散之后得到一個對稱的、正定的,具有Toeplitz結(jié)構(gòu)的線性系統(tǒng),雙參數(shù)的循環(huán)與反循環(huán)分裂迭代法應(yīng)用到求解Toeplitz系統(tǒng),并證明了該方法無條件收斂于線性系統(tǒng)的唯一解,數(shù)值實例也驗證了雙參數(shù)的循環(huán)與反循環(huán)分裂迭代法的收斂速度是快速的。
[Abstract]:Slowly increasing fractional diffusion equation is a modified fractional diffusion equation by multiplying slowly increasing exponent factor to better describe the phenomenon of anomalous diffusion in nature with limited vitality or limited space. The jump distribution of the slowly increasing power law produces the fractional derivative of the slowly increasing space, and the waiting time of the slowly increasing power law obtains the fractional derivative of the slowly increasing time, which improves the defect of the fractional diffusion equation. In recent years, numerical algorithms for slowly increasing fractional diffusion equations have attracted much attention. In this paper, two kinds of cyclic and inverse cyclic splitting iterative methods with different parameters are studied to solve the numerical solutions of slowly increasing fractional diffusion equations. The main work of this paper is as follows: (1) for the two-point boundary value problem of slowly increasing fractional order, the coefficient matrix in linear system is dense and asymmetric by using Gr 眉 nwald difference operator (tempered-WSGD) with slowly increasing weight shift. A matrix with a Toeplitz structure. The Toeplitz system is solved by cyclic and inverse cyclic splitting iteration method. In each iteration, the linear system is solved by using the fast Fourier transform. The computation only needs O (Nlog N) N to represent the number of nodes in the spatial grid. It is proved in detail that the iterative method of cyclic and inverse cyclic splitting is unconditionally convergent. Numerical examples show that the algorithm is a feasible and efficient fast algorithm. (2) for a slowly increasing fractional two-point boundary value problem with equal diffusion coefficient, By using tempered-WSGD to approximate the left and right derivatives of slowly increasing Riemann-Liouville fractional order, a symmetric, positive definite linear system with Toeplitz structure is obtained. The two-parameter cyclic and anti-cyclic splitting iteration method is used to solve the Toeplitz system. The convergence of the system is proved and the selection of two parameters is analyzed. Numerical examples show that the convergence rate of the fast algorithm is fast. (3) for slowly increasing fractional diffusion equations, a symmetric, positive definite linear system with Toeplitz structure is obtained after discretization by implicit second-order finite difference scheme. The two-parameter cyclic and anti-cyclic splitting iteration method is applied to the solution of Toeplitz system, and it is proved that the method converges unconditionally to the unique solution of the linear system. Numerical examples also show that the convergence rate of the iterative method with two parameters is fast.
【學(xué)位授予單位】：西安理工大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O241.8

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本文編號：2212321