本文關(guān)鍵詞：波流共存場中多向隨機波浪傳播變形數(shù)學(xué)模型，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

第１９卷第１期 ２００８年１月

水科學(xué)進展

ＡＤＶＡＮＣＥＳ ＩＮ ＷＡＴＥＲ ＳＣＩＥＮＣＥ

Ｖ０１．１９．Ｎｏ．１ Ｊａｎ．，２００８

波流共存場中多向隨機波浪傳播變形數(shù)學(xué)模型

鄭金海１， Ｈａｊｉｍｅ

（１．河海大學(xué)海岸災(zāi)害及防護教育部重點實驗室，江蘇南京

Ｍａｓｅ２

２１００９８；２．京都大學(xué)防災(zāi)研究所，日本京都府宇治市６ｌｌ—００１１）

摘要：基于波作用量守恒方程建立了波流共存場中多向隨機波浪傳播變形數(shù)學(xué)模型，模型中考慮了波浪繞射的影 響和水流引起的波浪彌散多普勒效應(yīng)，應(yīng)用包含水流和地形影響的激破波模式計算波浪破碎的能量耗散，采用一 階上迎風(fēng)有限差分格式離散控制方程。分別計算了有無近岸流情況下單向和多向隨機波浪的波高分布，考慮水流 影響的數(shù)值計算結(jié)果與物理模型實驗數(shù)據(jù)吻合良好，比較分析表明，所建立的數(shù)學(xué)模型能夠復(fù)演由于離岸流引起 的波高增大，可用于波流共存場多向隨機波浪傳播變形的模擬和預(yù)報。 關(guān)鍵詞：波流共存場；波作用量守恒方程；多向隨機波浪；數(shù)學(xué)模型；波浪傳播變形 中圖分類號：Ｐ７３１．２２；０２４２．１ 文獻標(biāo)識碼：Ａ 文章編號：１００ｌ。６７９１（２００８）０１．００ｒ７８—０６

在河口海岸地區(qū)，波浪和各種不同特性的水流，如潮流、徑流、波致近岸流等，常是同時存在的。已有研

究表明，水流與地形對波浪在近岸地區(qū)傳播變形的影響具有同等的重要性ｕ＇２Ｊ。而且‘，波浪具有三維方向譜形

式，在水流的影響下波浪場的變化非常復(fù)雜。本文從波作用量守恒方程出發(fā)，建立了波流共存場中多向隨機波

浪傳播變形數(shù)學(xué)模型，并與港池物模實驗成果進行對比分析。

ｓｗＡＮ模型是基于波作用量守恒方程的波浪模型中應(yīng)用最為廣泛的一種，Ｒｉｓ等通過荷蘭確ｅｓｃｈｅ ｚｅｅ鼬ｔ海

域漲潮流場中６個波浪站和逆流情況下的波浪水槽實驗５個測點的資料驗證了模型的可靠性∽Ｊ。然而，Ｍ鵲ｅ等 應(yīng)用ＳＷＡＮ ４０．４１版計算裂流影響下的波浪傳播計算中，發(fā)現(xiàn)在裂流的外側(cè)也出現(xiàn)了波高增大的區(qū)域，這與 Ｌｉｕ應(yīng)用緩坡方程Ｈ Ｊ、Ｙ００ｎ和Ｌｉｕ應(yīng)用Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程ｂ Ｊ以及Ｍ鸛ｅ等應(yīng)用波作用量守恒方程怕１計算得到的波高 分布有很大的差異，說明ＳＷＡＮ模型在波流共存場的波浪計算中還需要更多資料的驗證。而Ｍａｓｅ等的模型［７ Ｊ 中，存在三方面不足，一是以相對水深作為判別指標(biāo)忽略了大波數(shù)分量的計算；二是為了計算穩(wěn)定人為設(shè)定波 能譜零階矩與二階矩之比小于１００而不適于長波的計算；三是對于如河口或建有防波堤的水域無法給出正確的 計算結(jié)果。筆者通過改進程序設(shè)計彌補了這些不足，采用一元二次方程的算法直接求解考慮Ｄ叩ｐｌｅｒ效應(yīng)的波

浪彌散關(guān)系，從而避免用相對水深作為判別指標(biāo)的做法；修正了能譜計算模塊中的錯誤，使模型能計算長波的

情況；將復(fù)雜地形和海工建筑物的邊界信息作為外部輸入文件程序，代替通過虛實結(jié)合進行信息傳遞的做法。 然而，文獻［６］所應(yīng)用的是結(jié)合考慮海底坡度的改進Ｍｉｃｈｅ碎波指標(biāo)和假設(shè)波浪破碎前后均符合Ｒａｙｌｅｉｇｈ分布的 方法計算波能耗散，這個方法并未經(jīng)過實驗資料的檢驗�？紤]到波浪破碎引起的能量耗散是影響近岸地區(qū)波浪 場計算結(jié)果的主要因素之一，本文選用經(jīng)實驗驗證的包含了水流和地形影響的激破波公式＂］計算波浪破碎引起 的能量耗散。

收稿日期：２００７．０３．２２ 基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（５０５０９００７）；教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計劃（ＮＣＥｌ二ｃｒ７—０２５５）；河海大學(xué)科技創(chuàng)新基金 聯(lián)合資助項目（２０１３４（）６（）９２） 作者簡介：鄭金海（１９７２一），男，福建莆田人，教授，博士，主要從事港口航道與海岸工程的教學(xué)和科研工作。 Ｅ?ｍａｉｌ：ｊｈｚｈｅｎｇ＠ｈｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ

　

第１期

鄭金海、Ｈ８ｊｉｍｅ Ｍａｓｅ：波流共存場中多向隨機波浪傳播變形數(shù)學(xué)模型

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１

數(shù)學(xué)模型

基本方程 在波流共存場中，考慮繞射影響的多向不規(guī)則波的波作用量守恒方程可表示為

１．１

掣＋掣＋掣：嘉［（ｃｃｇｃｏｓ２…，一丟ｃｃ—ｓ２臼％】－￡６Ⅳ —Ｆ＋—瓦一＋—麗一２萬【Ｌ ＬＬｇｃ０８�！巍弧�，ｙ一蠆乙Ｌｇ００８‘∥，Ｖ＂Ｊ－８６０Ｖ

ｃ；＝ｃｇｃｏｓ口＋ｕ ｃ７＝ｃｇｓｉｎｐ＋ｙ

（１） ｔＩ Ｊ

式中

Ⅳ為波作用量，為波能與相對角頻率之比［８］，它是頻率和波向的函數(shù)；芹為確定繞射影響的系數(shù)，這一

項是Ｍａｓｅ從Ｒａｄｄｅｒ的拋物型波浪方程［９】出發(fā)推導(dǎo)得到的考慮波浪繞射顯式表達式，并建議圮取小于１５［１０］；Ｃ

和ｑ分別為波速和群速；￡６為波浪能量耗散系數(shù)；ｃ¨ｃ，和ｃ口分別為戈、ｙ和口方向的波速：

（２） （３） （４）

Ｇ＝面最面（ｓｉｎ臼碧一ｃ。ｓ目鷥）＋ｃ枷ｓｉｎ日簀一ｃ。ｓ２口籌＋ｓｉｎ２曰籌一ｓｉｎ‰ｓ口霧

式中 ｕ和ｙ分別為戈和ｙ方向的水流流速；矗為波數(shù)；＾為水深；盯為相對角頻率，根據(jù)彌散關(guān)系，有 仃２＝ｇ忌ｔａｎｈ（尼ｈ） 考慮水流影響下波浪彌散關(guān)系的Ｄ叩ｐｌｅｒ效應(yīng)，絕對角頻率為

ｃＤ＝仃＋蠡Ｕｃｏｓ口＋庇ｙｓｉｎ日

（５）

（６）

１．２波浪破碎的能量耗散系數(shù) ｎｍｎｔｏｎ和Ｇｕｚａ采用經(jīng)驗的權(quán)重函數(shù)計算破碎后的波高概率分布，結(jié)合激破波模式提出波浪破碎引起的能 量耗散公式【１１Ｉ，公式可以適用于復(fù)雜的沙壩地形而得到廣泛的應(yīng)用。然而，由于公式僅僅是局部水深的函數(shù)， 所以不能考慮水流影響下的波浪破碎情況。Ｃｈａｗｌａ和Ｋｉｒｂｙ在權(quán)重函數(shù)中引入波陡度建立了考慮水流影響的隨 機波浪總能量耗散表達式，通過一維波浪譜模型模擬了強逆流作用下隨機波浪的破碎，計算結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)吻

合很好［７ｌ。他們提出的計算公式［７］為

ｃ蟣纛侶焉（淼陋｛１－【ｔ＋（意薪�。雕猓�

８６

㈣

式中

（Ｄ）為波浪破碎引起的總能量耗散量；ｉ為平均波數(shù)；日，。為均方根波高，參數(shù)』９和ｙ分別�。埃春�

０．６；ｌＤ為水體密度；ｇ為重力加速度。 于是，式（１）中的波浪破碎能量耗散系數(shù)ｅ�？蓪懗�

２雨兩：而

Ｌ』Ｄｇ月一／石Ｊ仃

（Ｄ）

¨Ｊ

，ｎ、

式中ｄ為平均相對角頻率。 １．３離散格式 圖１表示各變量在網(wǎng)格中的布置方法，其中上標(biāo)；、歹和磊分別為ｚ、ｙ和８方向的網(wǎng)格數(shù)，藏、毋和船分別為 戈、１，和口方向的步長，ｎ為頻率分量。

采用一階上迎風(fēng)格式離散波作用量守恒方程，對于某一頻率分量，式（１）左邊第一項可寫成

ａ（ｃ；Ⅳ）

一

臚《‘＋１’且一Ⅳ（‘一１）批ｃ少

ａ戈

（９）

同樣，可以寫出式（１）左邊其他兩項的差分格式。經(jīng)整理，式（１）的差分方程可寫成 Ａ１Ⅳ游＋Ａ２．７、『。（卜１）‘＋Ａ３Ⅳ（，＋１）‘＋Ａ４Ⅳ＃（‘一１’＋Ａ５Ⅳ可‘‘＋¨：一曰Ｊ７＼，（‘一１）辟 （１０）

式（１０）可以采用Ｇａｕｓｓ．ｓｉｚｅｌ方法來求解，其中系數(shù)Ａ１、Ａ２、Ａ３、Ａ４、Ａ５及Ｂ分別為

　

８０

水科學(xué)進展

第１９卷

ｃｇ‘川’／陽

（謬≥ｏ，ｃ５‘㈨’≥ｏ）

（ｃ擴≥ｏ，ｃ２（川’＜ｏ）

扯掣∥＋｛≤？窶》

一甜／踟

Ａ正＝

０

（甜‘川）一甜）／陽

一ｃ蛩，釃

（謬＜ｏ，ｃ；‘川’≥ｏ）

（ｃ擴＜ｏ，ｃｇ‘川’＜ｏ）

Ａ：＝｛一ｃ？渺 ｛蘭耋三：；；Ａ。＝｛辭。，＋０）。／酚

（甜≥ｏ，ｃｇ‘川’≥ｏ） （甜≥ｏ，ｃｇ““’＜０）

ｆ Ａ５

ｏ

ｃ尹≥ｏ）

（Ｇ哥＜ｏ）

（甜≥ｏ，ｃｇ‘川’≥ｏ） （毋≥ｏ，ｃ；（¨’＜ｏ） （謬＜ｏ，ｃｇ‘¨’≥ｏ） （甜＜ｏ，ｃｇ‘¨’＜ｏ）

一甜／踟

ｏ ｏ

ｃ２‘“１）／甜

２

（諺＜ｏ，ｃ妒１）≥ｏ）５

（諺＜ｏ，ｃｇ‘¨）＜ｏ）

１

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Ｂ：一Ｃ寸／８ｘ

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Ⅳ‘ａ‘Ｉ）１

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ｏ

０

圖１網(wǎng)格中的變量布置

Ｆｉｇ．１【丑ｙ０＇Ｊｔ８ ｏｆ ｖａ五ａｂｌｅｓ ｉｎ ｔｌｌｅ ｃｅｌｌｓ

２計算與分析

２．１物理模型實驗 物理模型實驗在長３８ ｍ，寬２０ ｍ的波浪港池中進行，模型比尺為１： １２５。港池的一端布置了由６０塊寬３０ ｃｍ的推波板構(gòu)成的蛇行生波機，，入

射波為Ｂ．Ｍ譜的單向和多向（ｓ。。，＝２５）不規(guī)則波。岸線和海底地形如 圖２所示，圖中空心圓圈表示波高和流速的測量位置，水深單位為ｃｍ。 波高和流速數(shù)據(jù)分別采集４００ ｓ，截取其中的后３４０ ｓ進行統(tǒng)計分析。

圖３（ａ）和圖４（ａ）分別為有效波高和波周期為７．３ ｃｍ和１．２１ ｓ的單向

和多向不規(guī)則波實驗結(jié)果。由于岸線和地形的影響，波浪傳至近岸后產(chǎn)生

很大的波生沿岸流，實驗中測得的最大流速超過２５ ｃｍ／ｓ。波生沿岸流反 過來又對波浪場的分布產(chǎn)生影響，例如，圖３（ａ）中出現(xiàn)了超過入射波高

圖２物理模型水深等深線和測點布置

Ｆｉｇ．２ ＣｏｎｔｏＩｌｒ ｓｌｉｎｅｓ ｏｆ ｌｏｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｅｔｅｒｓ

ｗａｖｅ

１．２０倍的波高增大區(qū)。

２．２計算結(jié)果分析

ｐｈｙｓｉｃａｌ

ｍｏｄｅｌ ａｎｄ

ｃｕｒｒｅｎｔ

ｇａｕｇｅｓ ａｎｄ

計算中取網(wǎng)格尺度為０．２ｍ×０．２ｍ，人射波的頻譜和方向譜分別劃分

　

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鄭金海、Ｈａｊｉｍｅ Ｍａｓｅ：波流共存場中多向隨機波浪傳播變形數(shù)學(xué)模型

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成１０個和３６個分量，每個網(wǎng)格上計算流速值取實驗中測得流速的線性插值。 圖３和圖４分別給出單向和多向不規(guī)則波的波高分布計算結(jié)果與實驗結(jié)果的對比，圖中等值線表示近岸區(qū) 有效波高與入射有效波高之比�？梢钥闯�，考慮了波生流的影響后，數(shù)值計算結(jié)果才能反映出在凹岸處的波高 增大。

１６

１４ １２ ｌＯ ８ ６ ４ ２ Ｏ

呂

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醪二：：催鼓

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ｆ／’，，一，蕩咚＼ｌ

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８｝

１２ 工，ｍ

（ａ）物理模型實驗結(jié)果

（ｂ）考慮水流的計算結(jié)果

（ｃ）不考慮水流的計算結(jié)果

圖４ Ｆｉｇ．４

多向不規(guī)則波波高分布計算結(jié)果與實驗結(jié)果對比

ｃ８ｌｃｕｌａｔｅｄ衄ｄ ｍｅａｓｕｒｅｄ

ｗａｖｅ

Ｃ響ｐａｒｉｓｏＩｌｓ

ｏｆ

ｈｅｉｇｈｔ

ｄｉ舸ｂｕｔｉｏｎｓ

ｆｏｒ

ｍ枷一ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ

ｃａｓｅ

圖５和圖６分別給出單向和多向入射波的條件下橫斷面（ｙ＝６．Ｏ ｍ）和縱斷面（茹＝９．Ｏ ｍ）的計算和實驗結(jié)果

的比較，縱坐標(biāo)是近岸區(qū)有效波高與入射波有效波高的比值。圖中的實線是考慮波生流的計算結(jié)果，虛線是不 考慮波生流的計算結(jié)果。可以看出，考慮了波生流的數(shù)值計算結(jié)果與實驗結(jié)果吻合很好，特別是由于強離岸流 導(dǎo)致的波高增大部分；而不考慮水流時，數(shù)值計算無法模擬波高增大的現(xiàn)象。說明為了更好地模擬和預(yù)報隨機

波浪在近岸地區(qū)的傳播與變形，必須考慮環(huán)境水流的影響。 圖７是計算和實驗有效波高的相關(guān)關(guān)系圖，可以看出大部分計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的誤差在１５％以內(nèi)。統(tǒng)

計表明，入射波為單向隨機波時平均計算誤差為５．４２％，計算值和實驗值的相關(guān)系數(shù)為ｏ．９４；入射波為多向

　

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水科學(xué)進展

第１９卷

隨機波時平均計算誤差為７．６７％，計算值和實驗值的相關(guān)系數(shù)為Ｏ．９２。說明本文建立的波浪數(shù)學(xué)模型在波流 共存場多向隨機波浪傳播變形的計算中表現(xiàn)良好。

圖５單向不規(guī)則波典型斷面計算結(jié)果與實驗結(jié)果對比

Ｆｉｇ．５ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｓ ｏｆ

ｃａｌｃ山ｔｅｄ

ａｎｄ ｍｅａｓｕｒｅｄ

ｎｏｎ—ｎｏｍａｌｉｚｅｄ

ｗａｖｅ

ｈｅｉｇｈｔｓ

ｆｏｒ ｌｕｌｉ?ｄｉｒｅｃｄｏｒＩａｌ

ｃａｓｅ

０

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２

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實驗Ｈｌ，，／（Ｈｌ，，）。

圖６多向不規(guī)則波典型斷面計算結(jié)果與實驗結(jié)果對比

Ｆｉｇ．６ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｓ ０ｆ ｍｕｌｔｉ．ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ８ｌ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ

ｃａｓｅ

圖７計算波高與實驗結(jié)果的相關(guān)關(guān)系

ｈｅｉｇｈｔｓ ｆｏｒ Ｆｉｇ．７ Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｃｕｈｔｅｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ｍｅ８ｓｕｒｅｄ

ｗａｖｅ

ａｎｄ

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ｗａｖｅ

ａｎｄ ｃａｌ一

ｎｏｍａｌｊｚｅｄ

ｈｅｉｇｈｔｓ

４結(jié)

論

由于岸線和地形的影響，隨機波浪在近岸地區(qū)會產(chǎn)生很大的水流，波致沿岸流又會對波浪場的分布產(chǎn)生影 響。為了模擬波流共存場中多向隨機波浪傳播與變形，本文基于波作用量守恒方程建立了考慮波浪繞射的影 響、水流引起的波浪頻散多普勒效應(yīng)以及水流和地形共同影響下波浪破碎能量耗散的有限差分?jǐn)?shù)學(xué)模型。數(shù)值

計算結(jié)果與物理模型實驗數(shù)據(jù)進行了比較分析，表明考慮水流的波浪數(shù)學(xué)模型能較好地復(fù)演由于離岸流引起的 波高增大，可以用于波流共存場多向隨機波浪傳播變形的模擬和預(yù)報。

參考文獻：

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鄭金海、Ｈａｊｉｍｅ Ｍａｓｅ：波流共存場中多向隨機波浪傳播變形數(shù)學(xué)模型

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ｄｅｖｅｌ叩ｅｄ

ｉｎ ｔｈｅ ｗａＶｅ—ｃｕｒｒｅｎｔ ｃｏｅｘｉｓｔｉｎｇ ｆｉｅｌｄ，ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ

６ｌｌ—００１ｌ，．，如帆）

ｆｏｒⅡｎｌｌｔｉ—ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ ｍｎ．

Ａｂｓ咖ｃｔ：

ｄｏｍ ｗａＶｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ

ｃｕｒｒｅｎｔ

Ｂａｓｅｄ ｕｐｏｎ ｔｌｌｅ ｗａｖｅ ａｃｔｉｏｎ ｂ“ａｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ，８ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｐｒｅｄｉｃｔｉｎｇ ｍｏｄｅｌ ｉｓ

ｔｒａｎｓｆｏｍａｔｉｏｎ

ｄｉ脅ｃｔｉｏｎ

ａ

ｅ能ｃｔ

ａｎｄ ｔｌｌｅ Ｄｏｐｐｌｅｒ ｓｈｍ ｏｆ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ

ａｒｅ

ｔａｋｅｎ ｉｎｔｏ ａｃｃｏｕｎｔ．Ａ ｂｏｒｅ ｂａｓｅｄ ｆｏⅡｎｕｌ砒ｉｏｎ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｐａｒａＩｎｅｔｅｒｉｚｅ ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｃｏｕｐｌｅｄ ｆｏｒｗａ＿ｒｄ—ｍａｒｃｈｉｎｇ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｕｐ謫ｎｄ ｆｉｎｉｔｅ

ａｎｄ ｄｅｐｔ｝ｌ ｌｉｍｉｔｅｄ ｗａｖｅ ｂｒｅａｋｉｎｇ．Ｔｈｅ ｇｏｖｅｍｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｄｉｓｃｒｅｔｉｚｅｄ ｂｙ

ｄｉ￡ｆ．ｅｒｅｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ．７Ｉｈｅ ｗａｖｅ ｈｅｉｇｈｔ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｕｎｉ－齟ｄ ｍｕｌｔｉ－ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｗｉｔｈｏｕｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔＩｌｅ ｎｅａＩｓｈｏＩｅ ｃｕｒＩ℃ｎｔｓ ｅｆｆｂｃｔ．

ｍｄｏｍ

ｗａｖｅｓ

ａｒｅ

ｃａ｜ｃｕｌａｔｅｄ ｗｉｔｈ ａｎｄ

ａ

Ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏ州’ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐＩ弓ｄｉｃｔｉｏｎｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｃｕｎｅｎｔ ｅｆ．ｆｅｃｔ ｐｒｏｄｕｃｅ ｗｅＵ ｉｎ

ｐｒｅｆｂｒ如ｌｅ ｆｉｔ

ｍｏｄｅｌ－ｄａｔａ

ＷａｔＰｒ

ａｒＰ丑ｓ．

ｔｏ

ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｄａｔａ ａｎｄ

ｐｅ而ｎｎ

ｓｉ眥ｌａｔｉｎｇ

ｔｈｅ ｗａｖｅ

ｈｅｉｇｈｔ

ａｃｃｒｅｔｉｏｎ ｄｕｅ

ｔｏ邱ｃｕｒｒｅｎｔｓ．ｎｅ砌ｔｕａｌ

ｃｏＩｒｌｐ耐ｓｏｎｓ

ｒｅＶｅａｌ ｔｈ砒ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｍｏｄｅｌ

ｉｓ�。穑欤椋悖幔猓欤�

ｆｏｒ ｔｈｅ ｒａｎｄｏｍ ｗａｖｅｓ ｐｍｐａｇａｔｉｎｇ ｉｎ ｗａｖｅ－ｃｕｒｒｅｎｔ ｃｏｅｘｉｓｔｉｎｇ

Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｗａＶｅ—ｃｕＩＴｅｍ ｃｏｅｘｉｓｔｉｎｇ ａｒｅａｓ；ｗａＶｅ ａｃｔｉｏｎ ｂａｌａｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｍｕｌｔｉ—ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ ｒ�。洌铮� ｗａｖｅ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ；

ｗａｖｅ

ｔｒａｎｓｆｂ咖ａｔｉｏｎ

＊Ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｉｓ

ｆｍａＩｌｃｉａｕｙ

ｓｕｐｐｏｎｅｄ

ｂｙ山ｅ

Ｎａｔｉｏｎａｌ

Ｎａｔｕ瑚Ｓｃｉｅｎｃｅ

Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ

Ｃｈｉｎａ（Ｎｏ．５０５０９００７）ａｎｄ Ｐｒｏ驢瑚ｆｏｒ

Ｎｅｗ Ｃｅｎｔｅｒｙ Ｅｘｃｅｌ—

ｌｅｎｔ Ｔａｌｅｎｔｓ ｉｎ

ｕｌｌｉｖｅＩｓｉｔｙ（ＮＣＥＴ—０７一０２５５）．

　

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  本文關(guān)鍵詞：波流共存場中多向隨機波浪傳播變形數(shù)學(xué)模型，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號：221148