【摘要】：本文提出兩種求解高維實對稱正定矩陣極大特征值問題的數(shù)值算法:基于Armijo型線性搜索的保守BFGS算法和有限記憶BFGS算法.分析算法的收斂性,并用數(shù)值試驗驗證算法的有效性.第一章,簡單介紹無約束優(yōu)化問題最優(yōu)解,下降方向和各種線性搜索;回顧求解無約束優(yōu)化問題的牛頓法和擬牛頓法;列出求解矩陣特征值問題的相關(guān)知識以及求解高維矩陣極大特征值問題的優(yōu)化模型和算法;最后,簡單陳述本文的主要貢獻(xiàn),并列出本文所用到的一些符號.第二章,基于求解無約束優(yōu)化問題,提出求解大型實對稱正定矩陣極大特征值問題的保守BFGS算法.所提算法有效地避免求解大型Hessian矩陣逆的問題.同時,在一些恰當(dāng)?shù)臈l件下,建立該算法的全局收斂性.最后,將所提算法和EIGS(Matlab內(nèi)部計算矩陣極大特征值的命令)進(jìn)行對比測試.實驗結(jié)果表明該算法穩(wěn)定,快速,高效.第三章,提出求解非凸優(yōu)化問題的有限記憶BFGS算法,然后利用所提算法計算實對稱正定矩陣的極大特征值.所提算法基于修正的擬牛頓方程并使用Armijo型線性搜索.不假設(shè)目標(biāo)函數(shù)是凸的情況下,所提算法收斂到所求問題的一個穩(wěn)定點.進(jìn)一步,通過數(shù)值試驗求解佛羅里達(dá)大學(xué)(UF)稀疏矩陣集維數(shù)達(dá)54,929維對稱正定矩陣的極大特征值,并和EIGS進(jìn)行比較.盡管該算法在理論上收斂到所求問題的一個穩(wěn)定點而不是全局極小值點,但數(shù)值試驗表明所提算法能夠計算出極大特征值.第四章,總結(jié)全文并給出一些值得進(jìn)一步研究的問題.
[Abstract]:This paper presents two numerical algorithms for solving the maximum eigenvalue problem of high dimensional real symmetric positive definite matrices: conservative BFGS algorithm based on Armijo type linear search and finite memory BFGS algorithm. The convergence of the algorithm is analyzed and the validity of the algorithm is verified by numerical experiments. In the first chapter, the optimal solution, descent direction and various linear searches of unconstrained optimization problems are introduced briefly, and the Newton method and quasi-Newton method for solving unconstrained optimization problems are reviewed. The relevant knowledge of solving matrix eigenvalue problem and the optimization model and algorithm for solving high dimensional matrix maximum eigenvalue problem are listed. Finally, the main contributions of this paper are briefly stated, and some symbols used in this paper are listed. In chapter 2, based on the unconstrained optimization problem, a conservative BFGS algorithm is proposed to solve the maximal eigenvalue problem of large real symmetric positive definite matrix. The proposed algorithm effectively avoids the problem of solving large Hessian matrix inverse. At the same time, the global convergence of the algorithm is established under some suitable conditions. Finally, the proposed algorithm is compared with the command to calculate the maximum eigenvalue of the matrix in EIGS (Matlab. Experimental results show that the algorithm is stable, fast and efficient. In chapter 3, a finite memory BFGS algorithm for solving nonconvex optimization problems is proposed, and then the maximum eigenvalues of real symmetric positive definite matrices are calculated by the proposed algorithm. The proposed algorithm is based on the modified quasi-Newton equation and uses Armijo type linear search. Without assuming that the objective function is convex, the proposed algorithm converges to a stable point of the problem. Furthermore, the maximum eigenvalues of (UF) sparse matrices with a set dimension of 54929 dimensional symmetric positive definite matrices are solved by numerical experiments and compared with EIGS. Although the algorithm theoretically converges to a stable point rather than a global minimum point of the problem, numerical experiments show that the proposed algorithm can calculate the maximum eigenvalue. The fourth chapter summarizes the full text and gives some problems worthy of further study.
【學(xué)位授予單位】：河南大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O241.6

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本文編號：2200007