【摘要】：Drinfeld-Sokolov方程簇在可積系統(tǒng)領(lǐng)域中有著重要的意義.這一構(gòu)造把無窮維李代數(shù)的理論和可積系統(tǒng)領(lǐng)域聯(lián)系在了一起,并進一步地和其它許多數(shù)學(xué)研究分支產(chǎn)生了聯(lián)系.簡單地說,對任意一個給定的仿射型李代數(shù)和其Dynkin圖上的一個固定的頂點,都可以給出一個相應(yīng)的可積方程簇.這些方程簇都是哈密頓系統(tǒng),其中大部分還可以表示成標(biāo)量Lax方程的形式.對于非扭的仿射李代數(shù)來說,其對應(yīng)的Drinfeld-S okolov系統(tǒng)具有很多較好的性質(zhì),例如這些系統(tǒng)實際上都具有雙哈密頓結(jié)構(gòu).但是這樣的性質(zhì)對于扭仿射李代數(shù)來說則不成立.因此非扭的仿射李代數(shù)所對應(yīng)的Drinfeld-Sokolov方程簇已經(jīng)得到了廣泛的研究,但是對于扭仿射李代數(shù)所對應(yīng)的Drinfeld-Sokolov方程簇則遠(yuǎn)非如此.在本文中我們研究了對應(yīng)于扭仿射李代數(shù)的Drinfeld-Sokolov方程簇.這里個關(guān)鍵的步驟是,對于一個扭的仿射李代數(shù),可以找到一個適當(dāng)?shù)姆桥さ姆律淅畲鷶?shù)和其上的一個圖自同構(gòu),使得其不動點子代數(shù)即對應(yīng)于前述的扭仿射李代數(shù).我們考察了這樣的一對系統(tǒng)之間的關(guān)系.對于A2n(2),A2n-1(2)和Dn+1(2)型的仿射李代數(shù),可以具體地證明其Drinfeld-Sokolov方程簇可以看成是從相應(yīng)的非扭仿射李代數(shù)對應(yīng)的某個推廣的Drinfeld-Sokolov方程簇約化下來得到的.這種約化在相應(yīng)的標(biāo)量Lax算子上的體現(xiàn)也被仔細(xì)地考察了.這樣我們就可已通過研究非扭的Drinfeld-Sokolov方程簇的某些性質(zhì)來得到扭的Drinf eld-Sokolov方程簇的相應(yīng)性質(zhì).我們還觀察到,這樣的約化過程還可推廣到更廣義的Drinfeld-Sokolov方程簇上去.這一類約化的一個典型的例子就是從約束KP方程簇到A2n-1(2)這一扭仿射李代數(shù)所對應(yīng)的Drinfeld-Sokolov方程簇上的約化.我們詳細(xì)地計算了約束KP方程簇所對應(yīng)的雙哈密頓系統(tǒng)的中心不變量,其結(jié)果表明這一系統(tǒng)是其無色散極限的一個拓?fù)湫巫?
[Abstract]:Drinfeld-Sokolov equations are of great significance in the field of integrable systems. This structure links the theory of infinite dimensional lie algebras with the field of integrable systems and further links with many other branches of mathematical research. Simply speaking, for any given affine lie algebra and a fixed vertex on its Dynkin graph, we can give a family of integrable equations. These equations are all Hamiltonian systems, and most of them can be expressed in the form of scalar Lax equations. For non-torsional affine lie algebras, the corresponding Drinfeld-S okolov systems have many good properties, for example, these systems actually have double Hamiltonian structures. But this property is not true for torsional affine lie algebras. Therefore, the Drinfeld-Sokolov equation family corresponding to the non-torsional affine lie algebra has been extensively studied, but the Drinfeld-Sokolov equation family corresponding to the torsional affine lie algebra is far from the same. In this paper, we study the families of Drinfeld-Sokolov equations corresponding to torsional affine lie algebras. A key step here is that for a twisted affine lie algebra, we can find an appropriate non-torsional affine lie algebra and an automorphism of a graph on it, so that its fixed point algebra corresponds to the torsional affine lie algebra mentioned above. We examined the relationship between such a pair of systems. For the affine lie algebras of A2n (2) A2n-1 (2) and DN1 (2), it is proved that the Drinfeld-Sokolov equation family can be regarded as the reduction of some generalized Drinfeld-Sokolov equations corresponding to the corresponding non-torsional affine lie algebras. The representation of this reduction on the corresponding scalar Lax operator is also carefully examined. In this way, we have obtained the corresponding properties of the torsional Drinfeld-Sokolov equation family by studying some properties of the non-torsional Drinf eld-Sokolov equation family. It is also observed that the reduction process can be extended to the more generalized Drinfeld-Sokolov equations. A typical example of this kind of reduction is from the constrained KP equation family to the Drinfeld-Sokolov equation family corresponding to the torsional affine lie algebra A2n-1 (2). The central invariants of double Hamiltonian systems corresponding to constrained KP equations are calculated in detail. The results show that the system is a topological deformation of its dispersion free limit.
【學(xué)位授予單位】：清華大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O152.5

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本文編號：2191879