【摘要】：本文運(yùn)用約束變分法和一些分析技巧研究了 Kirchhoff型橢圓方程基態(tài)解的存在性和正解的多重性;變號解、基態(tài)變號解的存在性及漸近行為.首先,研究了如下有界區(qū)域上帶臨界指數(shù)的Kirchhoff型問題其中Ω(?)R3是一個具有光滑邊界的有界區(qū)域,b0,λλ1，λ1是算子-△在Dirichlet邊界條件下的第一特征值.由2*= 6為Sobolev臨界指數(shù)可知,非線性項(xiàng)|u|4u達(dá)到臨界增長.利用Nehari流形方法和Brezis-Lieb引理得到了當(dāng)λ位于λ1的一個小的右鄰域時正解的存在性和多重性.其次,研究了如下R3上具有零質(zhì)量且?guī)R界指數(shù)的Kirchhoff型問題其中b是一個正常數(shù),為特征值問題-△u = λf(x)u,u ∈D1,2(R3)的第一特征值,D1,2(R3)= {u ∈ L2*(R3):%絬 ∈L2(R3)},f為非零非負(fù)函數(shù).利用Nehari流形方法和集中緊性引理獲得了兩個正解,其中一個是基態(tài)解.再次,研究如下RN上帶不定非線性項(xiàng)的Kirchhoff型問題其中 a0,b0,N≤3,λaλ1,λ1 為特征值問題-△u + u = λf(x)u,u ∈H1(RN)的第一特征值,權(quán)函數(shù)f非負(fù)非零,g變號.利用Weierstrass定理和Nehari流形方法得到bb0及bb0(b00)兩種情況下,基態(tài)解的存在性及正解的多重性.之后,研究了下面的RN上帶不定非線性項(xiàng)的Kirchhoff型方程其中a,b均為正常數(shù),N≤3,1r2,4s2*=2N/N-2,λ0,權(quán)函數(shù).f非負(fù)非零,g變號.利用Nehari流形方法獲得了基態(tài)解的存在性和正解的多重性.最后,研究了如下Kirchhoff型問題變號解的存在性及不存在性其中Ω(?)R3是一個具有光滑邊界的有界區(qū)域,a,b0,λaλ1.利用變號的Nehari流形方法和一些分析技巧,不僅證明了 0bA(A0)時,基態(tài)變號解的存在性、能量特征及b(?)0時基態(tài)變號解的收斂性,而且證明了 b ≥ A時變號解的不存在性.
[Abstract]:In this paper, the existence of ground state solutions and the multiplicity of positive solutions for Kirchhoff elliptic equations are studied by means of constrained variational method and some analytical techniques. Firstly, we study the Kirchhoff type problem with critical exponents on the bounded domains, where 惟 (?) R3 is a bounded region with smooth boundary, 位 1, 位 1 is the first eigenvalue of operator-under Dirichlet boundary condition. According to the Sobolev critical exponent of 2U = 6, the nonlinear term u 4u reaches critical growth. By using Nehari manifold method and Brezis-Lieb Lemma, we obtain the existence and multiplicity of positive solutions when 位 is located in a small right neighborhood of 位 1. Secondly, we study the Kirchhoff type problem with zero mass and critical exponent on the following R3, where b is a normal number and is the first eigenvalue of the eigenvalue problem-u = 位 f (x) UU 鈭，

本文編號：2175899