【摘要】：如今,分?jǐn)?shù)階微積分已成為流行在社會(huì)科學(xué)與工程的重要工具。特別是時(shí)空分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程正越來(lái)越多地應(yīng)用于研究許多領(lǐng)域的反常擴(kuò)散現(xiàn)象。由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非局部性,其數(shù)值求解會(huì)生成滿系數(shù)矩陣,并且此矩陣的求解需要消耗大量的計(jì)算成本及存儲(chǔ)量。所以我們展開研究快速數(shù)值方法來(lái)解決這一問題。第一步：我們給出時(shí)-空分?jǐn)?shù)階雙邊擴(kuò)散方程的一般形式：對(duì)于時(shí)間分?jǐn)?shù)階,我們采用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；對(duì)于空間分?jǐn)?shù)階,采用左和右的Ricmann-Liouville空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),并利用修正的Grunwald-Letnikov近似。給出相應(yīng)的有限差分格式及矩陣格式。第二步：分析有限差分格式的滿系數(shù)矩陣,它可以分解成Toeplitz矩陣與向量乘積之和。根據(jù)Toeplitz矩陣與循環(huán)矩陣的關(guān)系,以及循環(huán)矩陣的性質(zhì),提出用傅里葉變換法求解矩陣向量的乘積,開發(fā)一個(gè)基于快速傅里葉變換(FFT)的快速解決方案。第三步：基于FFT的快速解決方案,我們開發(fā)了兩種快速數(shù)值方法：一種是O(N log N)的最小剩余共軛梯度平方快速迭代方法,一種是O(N log2 N)的快速有限差分法。與常規(guī)有限差分法相比能夠極大地減少計(jì)算成本和存儲(chǔ)空間,同時(shí)保持相同的精度。第四步：對(duì)于多項(xiàng)分?jǐn)?shù)階時(shí)-空Caputo-Resz方程(MT-TSCR-FDE), P(Dt)u(x,t)=p(x)Rxβ+q(x)Rxγ-h(x)u(x,t)+F(x,t)首先利用預(yù)估-校正法對(duì)此多項(xiàng)分?jǐn)?shù)階方程進(jìn)行數(shù)值逼近,然后應(yīng)用上面提出的方法和步驟,分析研究數(shù)值求解的快速方法,以極大地減少計(jì)算成本和存儲(chǔ)空間。第五步：數(shù)值實(shí)驗(yàn)。分別針對(duì)時(shí)-空Caputo-Riesz分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程,一個(gè)有解析解的時(shí)-空分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程,以及最后的MT-TSCR-FDE給出實(shí)例數(shù)值模擬,給出相應(yīng)的誤差分析,以及CPU時(shí)間分析,通過(guò)優(yōu)良的數(shù)值結(jié)果證明本文提出的幾個(gè)快速方法的有效性。
[Abstract]:Today, fractional calculus has become an important tool in social science and engineering. In particular, fractional diffusion equations are increasingly used to study anomalous diffusion phenomena in many fields. Because of the nonlocality of fractional derivative, the numerical solution of the matrix will generate a full coefficient matrix, and the solution of this matrix needs a lot of computation cost and storage. So we study the fast numerical method to solve this problem. The first step: we give the general form of the time-space fractional two-sided diffusion equation: for the time fractional order, we use the Caputo fractional derivative; for the space fractional order, we use the left and right Ricmann-Liouville space fractional derivative. The modified Grunwald-Letnikov approximation is used. The corresponding finite difference scheme and matrix scheme are given. The second step is to analyze the full coefficient matrix of finite difference scheme, which can be decomposed into the sum of the product of Toeplitz matrix and vector. According to the relationship between Toeplitz matrix and cyclic matrix, and the properties of cyclic matrix, a fast solution based on fast Fourier transform (FFT) is developed by using Fourier transform method to solve the product of matrix vector. Step 3: based on the fast solution of FFT, we develop two fast numerical methods: one is the fast iterative method of minimum residual conjugate gradient square of O (N log N) and the other is the fast finite difference method of O (N log2 N). Compared with the conventional finite difference method, the computational cost and storage space can be greatly reduced, while maintaining the same accuracy. The fourth step: for the multiterm fractional space-time Caputo-Resz equation (MT-TSCR-FDE), P (Dt) u (XT) p (x) Rx 尾 q (x) Rx 緯 -h (x) u (XT) F (XT, we first use the predictor-correction method to approximate the multivariate fractional order equation, and then apply the methods and steps mentioned above to analyze and study the fast method of numerical solution. To greatly reduce computational costs and storage space. Step 5: numerical experiment. For time-space Caputo-Riesz fractional order diffusion equation, a time-space fractional diffusion equation with analytic solution, and the final MT-TSCR-FDE numerical simulation, the corresponding error analysis and CPU time analysis are given. The validity of several fast methods proposed in this paper is proved by good numerical results.
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O241.82

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本文編號(hào)：2147243