本文選題：Hamilton系統(tǒng) + KAM理論　； 參考：《山東大學》2017年博士論文

【摘要】：本文主要研究偏微分方程的不變流形,即中心流形,穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形,其中為定義在Banach空間X內(nèi)的非線性偏微分算子,(?)為線性算子,其譜具有三分性,N為非線性算子且其算子階小于(?)的算子階.在動力系統(tǒng)理論中人們特別關(guān)心方程(0.1)的一些特殊解(平衡解,周期解,擬周期解等)的存在性和穩(wěn)定性,而這些特解周圍的其它類型解的性質(zhì)可以通過研究這些特解而得到.KAM(Kolmogorov-Arnold-Moser)理論是研究偏微分方程擬周期解的一個強有力工具,它主要包括正規(guī)形方法和Newton-Nash-Moser隱函數(shù)定理方法.用正規(guī)形方法得到的擬周期解是線性穩(wěn)定的.最近Xavier Carbe,Ernest Fontich和Rafael de la Llave引入?yún)?shù)化方法來求解線性算子的譜具有三分性的方程的擬周期解.該方法利用線性算子(?)的(離散)譜的三分性把原系統(tǒng)約化到一個有限維的子空間中.雖然該方法也需要無窮次KAM迭代,但是所解的同調(diào)方程均是有限維.而需要指出的是該方法需要借助數(shù)值模擬等方法預先求出所考察方程的一個近似解K(t),即其中||e||Y充分小.本文主要考察Boussinesq方程關(guān)于以上兩個方程已經(jīng)有大量的研究成果.特別地,Rafael de la Llave在2009證明了(0.2)擁有光滑的中心流形.2015年徐君祥證明了(0.2)在適當?shù)臈l件下存在一族具有2個頻率的擬周期解.2016年Rafael de la Llave和Yannick Sire證明了(0.2)有有限維的擬周期解.2008年K.W.Chug和袁小平證明在d = 1情況下(0.3)存在周期解和2-維的擬周期解.2009年,叢洪滋,劉建軍和袁小平證明d1時方程(0.3)也存在2-維擬周期解.2011年叢洪滋和高美娜證明了帶導數(shù)的復Ginzburg-Landau方程存在2-維擬周期解.2013年程紅玉和司建國證明了具有擬周期驅(qū)動的復Ginzburg-Landau方程存在(m + 2)-維的擬周期解,此時驅(qū)動的頻率滿足Diophantine條件.本文的具體安排如下:第一章分為五節(jié).第一節(jié)介紹所研究問題的背景,特別是兩個具體模型的研究背景及研究現(xiàn)狀.第二節(jié)給出一些常用定義,不等式,引理,命題等.第三節(jié)給出有限維和無窮維Hamilton系統(tǒng)的KAM定理.第四節(jié)給出具有驅(qū)動的非Hamilton系統(tǒng)的KAM定理,其中驅(qū)動頻率滿足Diophantine條件.第五節(jié)我們介紹 Xavier Carbe,Ernest Fontich 和 Rafael de la Llave 在 2003 年引入的參數(shù)化方法并簡單地介紹用該方法構(gòu)造擬周期解的過程.第二章我們構(gòu)造具有擬周期驅(qū)動(驅(qū)動頻率滿足Diophantine條件)的復Ginzburg-Landau方程的擬周期解.具體地,我們把所研究方程的解寫成所在空間基的線性組合,把該和代入方程后得到一個格點方程,然后我們做一個變換消去格點方程中的不可積項,再通過作用量角變量變換和一些簡單的計算我們得到一個可積系統(tǒng)加小擾動的系統(tǒng).最后利用第一章所證明的定理1.5得到我們的結(jié)果.第三章我們構(gòu)造Boussinesq方程和復Ginzburg-Landau方程的有界解附近的穩(wěn)定流形.值得說明的是該解可以是用任何方法得到的(向前)有界解.具體地,假設(shè)u(t)=K(t)是(0.1)的解,我們需要找到另一個函數(shù)ξ(t)使得u(t)= K(t)+ξ(t也是(0.1)的解.把是u(t)=K(t)和u(t)=K(t)+ξ(t)分別代入(0.1)中并經(jīng)簡單的計算得到關(guān)于Ο(t)的發(fā)展方程(原方程的變分方和復 Ginzburg-Landau 方程程).以擬周期解K(θ+ωt)為例,所求它的穩(wěn)定流形就是集合W我們稱W是函數(shù)w的圖像,這里函數(shù)w是滿足的函數(shù).需要用壓縮不動點定理來求函數(shù)w.第四章是附錄,一些引理的詳細證明在本章給出。
[Abstract]:In this paper, we mainly study the invariant manifolds of partial differential equations, namely, central manifolds, stable manifolds and unstable manifolds. It is a nonlinear partial differential operator defined in the Banach space X, (?) as a linear operator, its spectrum has three points, N is a nonlinear operator and its operator order is smaller than (?) operator order. The existence and stability of some special solutions (equilibrium solutions, periodic solutions, quasi periodic solutions, etc.) of equations (0.1), and the properties of other types of solutions around these special solutions can be obtained by studying these special solutions and the.KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) theory is a powerful tool for studying the quasi periodic solutions of partial differential equations, which mainly includes normal forms. Methods and the method of Newton-Nash-Moser implicit function theorem. The quasi periodic solution obtained by the normal form is linear and stable. Recently Xavier Carbe, Ernest Fontich and Rafael de la Llave introduce the parameterized method to solve the quasi periodic solution of the linear operator's spectrum with three partial equations. This method uses three of the (Discrete) spectrum of linear operator (?) The original system is reduced to a finite dimensional subspace. Although the method also needs infinite KAM iteration, the homology equation of the solution is finite dimension. It is necessary to point out that the method needs to predict an approximate solution K (T) of the equation by means of numerical simulation. In other words, the ||e||Y is sufficiently small. The Boussinesq equation has a large number of research results on the above two equations. In particular, Rafael de la Llave in 2009 proves that (0.2) having a smooth center manifold,.2015 years Xu Junxiang proved (0.2) there is a family of quasi periodic solutions of.2016 years Rafael de la Llave and Yannick 0.2 under appropriate conditions (0.2) ) there is a finite dimensional quasi periodic solution.2008 years K.W.Chug and Yuan Xiaoping proof that under the d = 1 case (0.3) the existence of periodic solutions and 2- dimensional quasi periodic solutions for.2009 years, bushes, Liu Jianjun and Yuan Xiaoping prove D1 time equation (0.3) also exist the 2- dimensional quasi periodic solution.2011 year cluster, and Gao Meina prove that the complex Ginzburg-Landau equation with derivative exists 2- dimension. The periodic solution.2013 years Cheng Hongyu and the founding of the nation prove that the quasi periodic driven complex Ginzburg-Landau equation has a quasi periodic solution of (M + 2) - dimension, and the frequency of the drive satisfies the Diophantine condition. The specific arrangement in this paper is as follows: the first chapter is divided into five sections. The first section introduces the background of the research problems, especially the study of the two specific models. The second section gives some common definitions, inequalities, lemma, propositions and so on. The third section gives the KAM theorem of finite and infinite dimensional Hamilton systems. The fourth section gives a KAM theorem for a non Hamilton system with a driving force, in which the driving frequency satisfies the Diophantine condition. Fifth we introduce Xavier Carbe, Ernest Fontich The parameterization method introduced by Rafael de la Llave in 2003 and briefly introduces the process of constructing quasi periodic solutions by this method. In the second chapter, we construct a quasi periodic solution of a complex Ginzburg-Landau equation with quasi periodic drive (driving frequency satisfying Diophantine conditions). The linear combination of the base, after which the sum is replaced by a lattice equation, and then we do a transformation to eliminate the non integrable term in the lattice equation, and then we get a system with small perturbations by the transformation of the action angle variable and some simple calculations. Finally, we get our theorem 1.5 by the theorem of the first chapter. Results. In the third chapter, we construct the stable manifold near the bounded solution of the Boussinesq equation and the complex Ginzburg-Landau equation. It is worth explaining that the solution can be a (forward) bounded solution obtained by any method. In particular, assuming that u (T) =K (T) is (0.1) solution, we need to find another function, (T), to make u (T) = K (T) + zeta (t is (0.1)). U (T) =K (T) and U (T) =K (T) + zeta (T) are substituted in (0.1) respectively, and the equation of development (the variational square and the complex Ginzburg-Landau equation of the original equation) is obtained by simple calculation. The quasi periodic solution K (theta + Omega) is an example, and the stable manifold is the set of images which we call the function. Using compression fixed point theorem to find functions W. the fourth chapter is appendix, and the detailed proof of lemmas is given in this chapter.
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O175.2

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本文編號：2114781