本文選題：Volterra積分微分方程 + 弱奇異核　； 參考：《湘潭大學(xué)》2017年博士論文

【摘要】：本文利用譜配置方法求解一類帶弱奇異核的和非線性的Volterra型積分微分方程,并且構(gòu)造高精度算法,著重分析該方法的誤差估計和收斂性,并進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證所給方法的有效性。第二章,用Legendre譜配置方法對非線性Volterra-Fredholm-Hammerstein積分方程進(jìn)行求解。并且對于所給的數(shù)值格式和誤差進(jìn)行了分析,即當(dāng)核函數(shù)充分光滑時,計算所得數(shù)值格式的L2范數(shù)和L∞范數(shù)誤差呈指數(shù)收斂。而且給出了此方法的收斂階,獲得了相應(yīng)的誤差分析結(jié)果。最后,由數(shù)值例子驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性和方法的有效性。在第三章,對帶弱奇異核(t- s)-1/2的Volterra積分方程用Chebyshev譜配置算法進(jìn)行了研究。由于奇異核的特殊性,我們選擇了帶權(quán)為ω-1/2,-1/2的Chebyshev譜配置算法來逼近積分項,從而得到高精度的數(shù)值解。最后,對Chebyshev譜配置方法所得到的數(shù)值格式和數(shù)值解進(jìn)行誤差分析,得到了基于L∞和L2的譜精度收斂性,而且利用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。第四章是第三章的推廣,我們將奇異核(t - s)-1/2的Volterra積分方程推廣為奇異核為(t-s)-μ的Volterra積分方程,利用帶權(quán)的Jacobi譜配置方法來逼近積分方程,得到了該方程的Jacobi譜配置方法的數(shù)值格式。為了得到Jacobi譜逼近算法的誤差分析和收斂性分析,我們引入了分?jǐn)?shù)階微積分方程的定義,并且利用分?jǐn)?shù)階微積分方程的一些性質(zhì),來證明基于Jacobi譜配置算法的誤差估計和收斂性分析。得到了基于L∞和L2的譜精度收斂,數(shù)值實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了該方法的有效性。第五章,將第四章的研究繼續(xù)進(jìn)行推廣,將帶弱奇異核的Volterra型積分微分方程推廣為分?jǐn)?shù)階微分積分方程,并且將分?jǐn)?shù)階微分積分轉(zhuǎn)化為第二類帶弱奇異核的Volterra型微分積分方程,然后,利用Jacobi譜配置方法對它進(jìn)行求解,最后得到了在L∞空間和Lw2空間上的誤差估計,數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明Jacobi譜配置法對帶弱奇異核的分?jǐn)?shù)階Volterra型積分微分方程的有效性。
[Abstract]:In this paper, the spectral collocation method is used to solve a class of Volterra type integro-differential equations with weakly singular kernel and nonlinear, and a high precision algorithm is constructed. The error estimation and convergence of the method are analyzed, and numerical experiments are carried out. Verify the validity of the given method. In chapter 2, the nonlinear Volterra-Fredholm-Hammerstein integral equation is solved by Legendre spectrum collocation method. The given numerical scheme and error are analyzed, that is, when the kernel function is sufficiently smooth, the L _ 2 norm and L _ 鈭，

本文編號：2090194