本文選題：隨機(jī)發(fā)展方程 + 隨機(jī)偏微分方程�。� 參考：《華中科技大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：本論文考慮幾類隨機(jī)發(fā)展方程的數(shù)值方法,全文由兩個(gè)部分組成。第一部分研究隨機(jī)偏微分方程的數(shù)值方法,包括受乘性噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)彈性方程的隨機(jī)指數(shù)積分子方法,非線性隨機(jī)拋物方程的Parareal算法以及受無窮維分?jǐn)?shù)階Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)偏微分方程的Galerkin譜方法。第二部分研究隨機(jī)常微分方程Milstein型方法的構(gòu)造,并研究了方法的強(qiáng)收斂性和保指數(shù)均方穩(wěn)定性。論文由以下六章組成：第一章介紹隨機(jī)偏微分方程和隨機(jī)常微分方程數(shù)值方法研究的發(fā)展歷史與現(xiàn)狀,并給出本文的主要內(nèi)容和結(jié)構(gòu)安排。第二章簡(jiǎn)要介紹無窮維維納過程和可分Hilbert空間中無窮維隨機(jī)積分的基礎(chǔ)知識(shí)。第三章對(duì)于受乘性噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)彈性方程,我們?cè)跁r(shí)間上采用隨機(jī)指數(shù)積分子方法,空間上采用有限元方法。通過分別分析空間和時(shí)間的半離散誤差獲得全離散格式的誤差估計(jì),并證明了時(shí)間上的強(qiáng)收斂階與方程解析解的時(shí)間正則性是一致的。第四章,我們將Parareal算法應(yīng)用到一類非線性隨機(jī)拋物方程。我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)在粗網(wǎng)格上使用隨機(jī)積分子、細(xì)網(wǎng)格上使用精確解算子時(shí),對(duì)于受加性時(shí)空噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)拋物方程,Parareal算法的收斂速率是超線性的,而且收斂因子與噪聲的正則性無關(guān)。進(jìn)一步的數(shù)值試驗(yàn)還表明對(duì)于受乘性噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)拋物方程以及含有非全局Lipschitz漂移項(xiàng)的隨機(jī)拋物方程,Parareal算法依然有效。第五章,對(duì)于受無窮維分?jǐn)?shù)階Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)偏微分方程,我們?cè)诳臻g上采用Galerkin譜方法,時(shí)間上采用線性隱式Euler方法,并利用方程解析解的正則性結(jié)果分析了數(shù)值方法的強(qiáng)收斂性。我們的結(jié)論表明數(shù)值方法的時(shí)空強(qiáng)收斂階與解析解的時(shí)空正則性是一致的。第六章對(duì)于一類Ito型自治隨機(jī)常微分方程,我們提出了兩類兩步Milstein方法,并分析了方法的護(hù)誤差。我們證明了這兩類格式都具有1階強(qiáng)收斂階,并且在步長(zhǎng)滿足一定限制的條件下,這兩類格式都可以保持隨機(jī)微分方程的指數(shù)均方穩(wěn)定性,而且數(shù)值解的衰減速率會(huì)收斂到解析解的衰減速率。
[Abstract]:In this paper, we consider several numerical methods of stochastic evolution equations, which are composed of two parts. In the first part, we study the numerical methods of stochastic partial differential equations, including stochastic exponential product molecular methods for stochastic elastic equations driven by multiplicative noise. Parareal algorithm for nonlinear stochastic parabolic equations and Galerkin spectral method for stochastic partial differential equations driven by infinite dimensional fractional Brownian motion. In the second part, we study the construction of Milstein type methods for stochastic ordinary differential equations, and study the strong convergence and exponential mean-square stability of the methods. The thesis consists of six chapters: the first chapter introduces the history and present situation of the numerical methods of stochastic partial differential equations and stochastic ordinary differential equations, and gives the main contents and structure of this paper. In chapter 2, the basic knowledge of infinite dimensional random integral in separable Hilbert space is introduced briefly. In chapter 3, we use stochastic exponential product method in time and finite element method in space for stochastic elastic equations driven by multiplicative noise. By analyzing the semi-discrete error of space and time, the error estimates of the full discrete scheme are obtained, and it is proved that the order of strong convergence in time is consistent with the time regularity of the analytic solution of the equation. In chapter 4, we apply Parareal algorithm to a class of nonlinear stochastic parabolic equations. We find that the convergence rate of Parareal algorithm for stochastic parabolic equations driven by additive space-time noise is superlinear when random product molecules are used on rough meshes and exact solution operators are used on fine meshes. Moreover, the convergence factor is independent of the regularity of noise. Further numerical experiments show that the Parareal algorithm is still valid for stochastic parabolic equations driven by multiplicative noise and stochastic parabolic equations with non-global Lipschitz drift term. In chapter 5, for stochastic partial differential equations driven by infinite dimensional fractional Brownian motion, we use Galerkin spectral method in space and linear implicit Euler method in time. The strong convergence of the numerical method is analyzed by using the regularity of the analytical solution of the equation. Our results show that the order of strong convergence of the numerical method is consistent with the spatiotemporal regularity of the analytic solution. In chapter 6, for a class of Ito type autonomous stochastic ordinary differential equations, we propose two classes of two-step Milstein method and analyze the error of the method. It is proved that both schemes have a strong convergence order of order 1, and both schemes can maintain the exponential mean square stability of stochastic differential equations under the condition that the step size satisfies certain constraints. Moreover, the decay rate of the numerical solution will converge to the attenuation rate of the analytical solution.
【學(xué)位授予單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.8

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本文編號(hào)：2032281