本文選題：非線性期望 + G-布朗運(yùn)動��； 參考：《山東大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：為了解決模型不確定性問題,風(fēng)險度量問題以及金融中的超對沖問題等,Peng系統(tǒng)地建立了時間一致的非線性期望理論(見[69],[71]以及[74])。作為一個重要情形,Peng通過下面的全非線性偏微分方程引入了G-期望理論(見[77])：這里G：Sd→R為一給定的有界單調(diào)的次線性函數(shù)且Sd為由所有d×d對稱矩陣組成的集合。在G-期望框架下,Peng構(gòu)造了相應(yīng)的G-布朗運(yùn)動,并且在“擬必然”(q.s.)意義下建立了相應(yīng)的It6隨機(jī)積分。在這一基礎(chǔ)上,Gao[23]和Peng[76]研究了在標(biāo)準(zhǔn)Lipschitz條件下由G-布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程解的存在唯一性。Lin-Bai[57](也見Lin[53],Li-Lin-Lin[49])進(jìn)一步在弱一些的條件下得到了G-隨機(jī)微分方程解的存在唯一性。Luo-Wang[59]研究了G-隨機(jī)微分方程的樣本解。他們證明了可以利用一族帶參數(shù)的常微分方程來研究G-隨機(jī)微分方程。Hu-Ji-Peng-Song[34]建立了由G-布朗運(yùn)動驅(qū)動的倒向隨機(jī)微分方程解的存在唯一性。他們[35]得到了比較定理,對應(yīng)的非線性Feynman-Kac公式以及Girsanov變換。對次線性期望和G-期望的更多結(jié)果,請讀者參閱Bai-Buckdahn[6],Denis-MIartini[14],Dolinsky-Nutz-Soner[15],Dolinsky [16],Ggo-Jiang[24],Gao[25],Hu-Li-Wang-Zheng[36],Hu-Peng[37,38],Hu-Wang[39], Hu-Wang-zheng[40],Li-Peng[50],Lin[51,53,52],Nutz[64],Nutz和Van Handel[65], Peng-Song[79],Soner-Touzi-Zhang[90],Song[91,92,93,94],Xu-zhang[98],Zhang-Xu-Kannan[101]等。本論文集中研究了G-框架下的幾個題目。我們在第1章中回顧了次線性期望以及G-期望的一些準(zhǔn)備知識。第2章中,我們得到了一些G-正態(tài)分布的刻畫,這補(bǔ)充了G-正態(tài)分布理論。第3章中,我們首先考慮了一類G-隨機(jī)微分方程的顯式解,接著我們研究了G-隨機(jī)微分方程的一般樣本解,繼而建立了區(qū)域內(nèi)G-隨機(jī)微分方程解的存在唯一性,得到了相應(yīng)的比較定理。第4章中,我們用概率方法證明了多維G-隨機(jī)微分方程的比較定理。同時利用偏微分方程方法,我們給出了多維G-隨機(jī)微分方程比較定理的充分必要條件。基于第4章的結(jié)果,我們在第5章中研究了G-擴(kuò)散過程的單調(diào)性和保序性。我們分別給出了充分條件和必要條件。第6章中,我們分別引入了G-隨機(jī)微分方程的生存性,隨機(jī)伴隨切錐和切錐的定義。利用隨機(jī)伴隨切錐和切錐,我們給出了G-隨機(jī)微分方程生存性的等價刻畫。我們研究了隨機(jī)切錐的正像和逆像,繼而得到了一族閉子集生存性的刻畫。第7章主要研究帶非線性阻尼的反射G-隨機(jī)微分方程。我們考慮系數(shù)的積分Lipschitz條件并且系數(shù)依賴于增過程。利用Picard迭代的方法,我們建立了解的存在唯一性。進(jìn)一步,我們得到了比較定理。下面,我們將列出本論文的主要結(jié)果。2.G-正態(tài)分布的刻畫我們只考慮次線性期望空間(Ω,H,E)中的非退化隨機(jī)變量X,i.e.E[X2] (E[|X|])2由G-正態(tài)分布的定義,G-正態(tài)分布的一個等價刻畫為：對任意a,b0這里Y為X的獨(dú)立復(fù)制。記那么我們考慮被入的非負(fù)函數(shù)f(入)替代的情況。事實(shí)上,我們有下面的定理。定理0.1.令f為定義在R的包含0為內(nèi)點(diǎn)的子區(qū)間上的非負(fù)函數(shù)。X為次線性期望空間(Ω,H,E)中的非退化隨機(jī)變量,如果對所有使得f(λ)非負(fù)的入λX+f(λ)Yd=X這里Y為X的獨(dú)立復(fù)制,那么：(i)X為G-正態(tài)分布；定理0.2.令X,Y為次線性期望(Ω,H,E)中的兩個非退化隨機(jī)變量,f為定義在R的包含0為內(nèi)點(diǎn)的子區(qū)間上的非負(fù)函數(shù)。假設(shè)Y獨(dú)立于X,且對所有使得f(λ)非負(fù)的入,λX+f(λ)Y為分布不依賴于λ的非退化隨機(jī)變量,那么：(i)對某些常數(shù)a,b0,(ii)x和Y為G-正態(tài)分布且滿足這里3.G-布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程考慮下面由1-維G-布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程：這里初始條件X0 ∈ R,b, h, σ為定義在R上的R-值函數(shù)且對某一常數(shù)C.當(dāng)σ∈C1(R)且滿足時,當(dāng)b滿足一定條件時,通過構(gòu)造一類偏微分方程的解,我們給出了(0.0.1)的顯式解這里_f為定義在R上的R-值連續(xù)函數(shù),φ滿足一定的可微性。當(dāng)σ∈C1(R)且滿足時,當(dāng)b滿足一定條件時,我們給出了(0.0.1)的顯式解φ(t,x,Bt,∫0tf(s)dBs),這里f為定義在R上的R-值連續(xù)函數(shù),φ滿足一定的可微性。接著我們考慮廣義樣本解,假設(shè)F為R+×R2中的一個開區(qū)域且σ(t,x,y) ∈ Cb,lip 2(F)以及b(t,x,y), h(t,x,y)∈ Cb,lip(F)我們考慮下面的G-隨機(jī)微分方程：這里(0,0,X0)∈F.我們首先考慮下面的確定性初值問題：這里t為參數(shù)。進(jìn)一步,上面的常微分方程存在唯一解y＝φ(t,x,v) ∈C2 (F),這里F為R+×R2中的某一開域。定義：我們有：接著我們解下面的帶參數(shù)ω的常微分方程：注意到B)t為連續(xù)有限變差過程,那么常微分方程(0.0.4)存在唯一解V= Vt(ω),0≤t≤T(ω)且-為“爆炸時”。我們得到區(qū)域內(nèi)G-隨機(jī)微分方程解的存在唯一性。定理0.3.設(shè)F為R+×R2中的開區(qū)域且σ(t,x,y)∈ Cb,lip2(F)以及b(t,x,y)∈Cb,lip(F), h(t,x,y)∈Cb,lip(F)那么G-隨機(jī)微分方程(0.0.2)存在唯一解：這里φ和V分別由(0.0.3)和(0.0.4)給出。T為Xt的“爆炸時”。進(jìn)一步,我們得到了區(qū)域內(nèi)G-隨機(jī)微分方程的比較定理。定理0.4.設(shè)和如果存在三個函數(shù)σ,f和g滿足Caratheodory條件以及不等式那么對G-隨機(jī)微分方程(0.0.2)的解Xt有q.s.其中t使得上式兩邊均有意義,φ以及V分別為如下初值問題的極大解：和且X0≤X0.4.G-布朗運(yùn)動驅(qū)動的多維隨機(jī)微分方程的比較定理考慮下面的G-隨機(jī)微分方程：以及這里初始條件X0,Y0 ∈Rn為給定常數(shù)且X0≤Y0.利用隨機(jī)微分的方法,我們得到下面的多維G-隨機(jī)微分方程的比較定理。定理0.5.假設(shè)下面的兩個條件成立。(B1)對任意t∈[0,T]以及i=1,...,n,每當(dāng)xi=yi且xj≤yj對所有j≠i,不等式成立。(B2)b,hij,σi和b,hij,σi滿足條件(H2’)并且(σi)k只依賴于xk,對每一k=1,...,n,i,j=1,...,d,i.e.,對所有t ∈[0,T],x,y ∈Rn.那么對所有t∈[0,T],Xt≤Yt q.s.接著,我們引入G-隨機(jī)微分方程：的生存性定義。定義0.1.給定閉子集K∈ Rn.我們稱K關(guān)于方程(0.0.7)是可生存的如果從任意時間t∈[0,T]和任意x∈K出發(fā),G-隨機(jī)微分方程(0.0.7)的解(Xs t,x)t≤s≤T滿足對每一s∈[t,T],我們定義下面的實(shí)值函數(shù)u：這里C為常數(shù),dK(x)表示x到K的距離函數(shù)：易見u在[0,T]×Rn上連續(xù)且關(guān)于x平方增長,K關(guān)于G-隨機(jī)微分方程(0.0.7)是可生存的當(dāng)且僅當(dāng)進(jìn)一步,從Peng[76]中的定理3.7,我們有函數(shù)u(t,x)是下面偏微分方程的唯一粘性解：這里對φ∈C1,2([0,T]×Rn),下面的定理描述了G-隨機(jī)微分方程生存性成立和到約束集合的距離的平方為相應(yīng)的偏微分方程的粘性上解之間的等價關(guān)系。定理0.6.假設(shè)條件(H2’)成立。那么下面的條件等價：(1)K關(guān)于G-隨機(jī)微分方程(0.0.7)是可生存的；(2)dK2(·)是偏微分方程(0.0.9)的粘性上解。由定理0.6,我們得到多維G-隨機(jī)微分方程比較定理的充分必要條件。對每一v,∈{1,2}和t ∈[0,T],s ∈[t,T],考慮下面的G-隨機(jī)微分方程：這里x1,x2∈Rn.定理0.7.假設(shè)bv,hijv和σiv滿足條件(H2’)對任一v∈{1,2},那么下面的條件等價：(1)對任一t∈[0,T]和x1≤x2,(2)σ1=σ2且對任一t ∈[0,T].k ∈{1,…,n),這里為d×d對稱矩陣。5.多維G-擴(kuò)散過程的單調(diào)性和保序性令(X)0≤t≤T為n-維G-Ito擴(kuò)散過程這里(Bt)0≤t≤T為d-維G-布朗運(yùn)動且b,h,σ為定義在Rn上的Lipschitz連續(xù)函數(shù)。Markov半群εt定義為εtf(x)=E[f(Xt0,x)],這里X0,x表示初始時刻為t=0初始條件為x的G-Ito擴(kuò)散過程且f為定義在Rn上的函數(shù)。Markov半群的無窮小生成元L滿足對使得上述極限存在的f,并且為如下形式：這里(?)xf,h+(?)xx2fσ,σ為d×d對稱矩陣,如下定義：類似于Herbst-Pitt[31]和Chen-Wang[11],我們引入下面的定義。令“≤”表示Rn中的半序。(1)我們稱可測函數(shù)f為單調(diào)的如果f(x)≤f(x)對所有x≤x.記M為所有有界Lipschitz連續(xù)的單調(diào)函數(shù)。(2)對兩個半群{εt}0≤t≤T和{εt)0≤t≤T,我們記εt≥εt,如果對所有f∈M,對所有x≥x和0≤t≤T,εtf(x)≥εtf(x).如果εt=εt,我們稱εt單調(diào)。設(shè)并設(shè){εt}0≤t≤T,{εt}0≤t≤T和{ε't}0≤t≤T為分別由L,L和L'生成的半群。我們假設(shè)b,hij,σi和b,hij,σi滿足條件(H2)對每一i,j=1,...,d.我們有如下G-擴(kuò)散過程的單調(diào)性和保序性結(jié)果。定理0.8.假設(shè)下面的條件成立：(C1)對所有i,j,σliσkj只依賴于xi和xj,l,k=1,...,d.(C2)對所有i,當(dāng)x≤y且xi=yi.那么εt單調(diào)。定理0.9.如果εt單調(diào),那么下面的條件成立：(C1)對所有i,j,σliσkj只依賴于xi和xj,l,k=1,..,d.(C2')對所有i,當(dāng)x≥y且xi=yi.定理0.10.如果εt≥εt,那么下面的條件成立：(D1)對所有i,j,σilσjk≡σilσjk且σilσjk只依賴于xi和xj,l,k=1,...,d.(D2)對所有i,當(dāng)x≥y且xi=yi.定理0.11.假設(shè)(H3)成立且σσ*(或者相應(yīng)的σσ*)為一致正定的,i.e.,存在常數(shù)β0,使得對所有y ∈Rn,x ∈Rn,y*σ(z)σ*(x)y≥β|y|2如果εt和εt之一單調(diào),如果下面的條件成立：(D1)對所有i,j,σilσjk≡σilσjk且σilσjk只依賴于xi和xj,l,k=1,...,d.(D5)對所有x,K ∈Rn,K≥0,那么εt≥εt.6.G-布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程的隨機(jī)生存性我們考慮全局?jǐn)U張的域流,這允許我們利用可測選擇的結(jié)果。由于Peng[76]和Li-Peng[50]的工作,在這一新的設(shè)定下,G-Ito隨機(jī)積分仍然成立,推廣了被積函數(shù)的空間。在系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)Lipschitz假設(shè)下,G-隨機(jī)微分方程的唯一解存在于新空間M2(0,T)中。我們引入G-布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程：的生存性定義。定義0.2.設(shè)K為Rd的一族閉子集,稱K關(guān)于G-隨機(jī)微分方程(0.0.11)可生存,如果起始于任意時刻t∈[0,T]和取值于Kt的任意隨機(jī)變量ζ∈L2(Ft),G-隨機(jī)微分方程(0.0.11)的解(Xst,ζ)t≤s≤T滿足對每一s∈[t,T],考慮取值于Kt的隨機(jī)變量ζ∈L2(Ft),接著我們引入伴隨切錐和切錐的定義。定義0.3.在ξ處關(guān)于K的隨機(jī)伴隨切錐Cκ(t,ζ)為所有Ft可測的有界隨機(jī)變量三元組(u,v,ω)的集合,使得對任一∈0,存在δ'0使得對每一δ∈(0,δ']我們可以找到三個Ft+δ-可測的隨機(jī)變量aδ,bδ和cδ使得且滿足定義0.4.在ξ處關(guān)于k的隨機(jī)切錐Tκ(t,ζ)為所有Ft可測的有界隨機(jī)變量三元組(u,v,ω)的集合,使得存在三個有界適應(yīng)隨機(jī)過程as,bs,cs且滿足當(dāng)s →t時趨于0,使得對某一常數(shù)δ'0,這里隨機(jī)過程d=a,b,c滿足：對任一p0存在只依賴于p和T的常數(shù)Cp使得利用隨機(jī)伴隨切錐和切錐,我們得到了G-隨機(jī)微分方程生存性的等價刻畫。定理0.12.設(shè)K為Rd的一族閉子集,那么下面的條件等價：(1)K關(guān)于G-隨機(jī)微分方程(0.0.11)可生存.(2)對任一取值于Kt的ξ∈L2(Ft),(3)對任一取值于Kt的ξ∈L2(Ft),通過研究隨機(jī)切錐的正像和逆像,我們建立了K的生存性的等價刻畫。定理0.13.設(shè)κ:=(κt)0≤t≤T為Rd的一族閉子集且如果那么定理0.14.設(shè)κ:=(κt)0≤t≤T為Rd的一族閉子集且如果矩陣φ'(x)存在右逆φ'(x)+(有界Lipschitz函數(shù)),那么當(dāng)且僅當(dāng)7.G-布朗運(yùn)動驅(qū)動的帶非線性阻尼的反射隨機(jī)微分方程我們考慮下面的帶非線性阻尼的反射G-隨機(jī)微分方程：這里(A1)初始條件x∈R；(A2)對某一常數(shù)p 2, f, h, g:Ω×[0,T]×R×R滿足對任意x,y∈R,f.(x,y),h.(x,y), p.(x,y) ∈ MGp([0,T])以及這里β1 ∈ MGp([0,T)以及β2∈R+；(A3)f,h,g滿足積分Lipschitz條件,i.e.,對任意t∈[0,T]以及這里β：[0,T]→R+可積,p：(0,+∞)→(0,+∞)為連續(xù)增的凹函數(shù)滿足在0+處為零以及(A4)障礙過程為所有系數(shù)都為MPG([0,T])中元素的G-Ito過程,并且我們假設(shè)S0≤x,q.s..我們得到了解的存在唯一性。定理 0.15.假設(shè)條件(A1)-(A4)成立,那么帶非線性阻尼的反射G-隨機(jī)微分方程(0.0.13)存在唯一解。對于比較定理,考慮下面的帶非線性阻尼的反射G-隨機(jī)微分方程：并假設(shè)：(A2’)對某一常數(shù)p 2,f,Ω×[0,T]×R×R→R和g:Ω×[0,T]×R→R滿足對任意x,y ∈ R, f.(x,y),h.(x,y),和g.(x) ∈ MGp([0,T])以及這里β1, ∈ MGp([0,T])以及β2∈R+；(A3’)f,h,g滿足積分Lipschitz條件,i.e.,對任意t∈[0,T]和這里p：(0,+∞)→(0,+∞)為連續(xù)增的凹函數(shù)滿足在0+處為零以及我們有如下結(jié)果。定理0.16.假設(shè)對于i=1,2,fi,hi,gi滿足條件(A1),(A2’),(A3’)和(A4).我們假設(shè):(1)x1≤x2和g1=g2=g;(2)ft1(x,0)≤ft2(x,0)以及ht1(x,0)≤h2t(x,0),對任意x∈R,f1,h1關(guān)于y遞減,f2,h2關(guān)于y遞增,且St1≤St2,0≤t≤T,q.s..如果(X',K')是對應(yīng)于參數(shù)(fi,hi,g,Si)的帶非線性阻尼的反射G-隨機(jī)微分方程的解,i=1,2,那么Xt1≤Xt2,0≤t≤T,q.s..
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O211.63

【參考文獻(xiàn)】

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1 ;On Representation Theorem of G-Expectations and Paths of G-Brownian Motion[J];Acta Mathematicae Applicatae Sinica(English Series);2009年03期

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本文編號：2022373