本文選題：淺水波方程 + 弱耗散　； 參考：《大連理工大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：本文研究了一類淺水波方程Cauchy問題解的若干性質(zhì),包括局部適定性、爆破、整體強(qiáng)解的存在性以及整體弱解的存在性等.這些淺水波方程都來源于現(xiàn)代力學(xué)和物理學(xué),是非線性科學(xué)中的重要研究對(duì)象,特別是在孤立子與可積系統(tǒng)領(lǐng)域里.論文結(jié)構(gòu)如下：第1章簡(jiǎn)要介紹問題的背景以及研究現(xiàn)狀.在第2章中我們考慮弱耗散廣義μ-Hunter-Saxton方程的Cauchy問題,給出了局部適定性、強(qiáng)解的爆破準(zhǔn)則和爆破率、解映射的H／o1der連續(xù)性、整體強(qiáng)解的存在性以及整體弱解的存在性.主要目的在于討論自由參數(shù)礦和耗散參數(shù)五同時(shí)對(duì)解的爆破和整體存在性的影響.運(yùn)用Littlewood-Paley理論或者Kato半群理論,我們首先證明方程對(duì)任意的初始值坳∈Hs(S),s3/2都是局部適定的.然后利用能量方法,根據(jù)參數(shù)σ-的符號(hào)討論強(qiáng)解的爆破準(zhǔn)則和爆破率.再給出最大存在時(shí)間丁關(guān)于|u0||Hs(S)的一個(gè)顯式下界以及解的大小估計(jì),并且證明方程的解映射在Hs(S),s≥2(裝配著Hr(S)拓?fù)?0≤rs)中的Ho1der連續(xù)性.再者,根據(jù)兩個(gè)系數(shù)A,σ取商的符號(hào)討論整體強(qiáng)解的存在性.最后,利用粘性逼近法得到H1(S)中整體弱解的存在性,與以往工作不同的是,這里我們不需要利用Oleinik型估計(jì).由于該估計(jì)在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中很難驗(yàn)證,所以這種改進(jìn)是有意義的.在第3章中我們討論弱耗散廣義兩分量μ-Hunter-Saxton系統(tǒng)的Cauchy問題,給出了局部適定性、強(qiáng)解的爆破準(zhǔn)則和爆破率、整體強(qiáng)解的存在性以及整體弱解的存在性.目的是討論自由參數(shù)σ和耗散參數(shù)A在兩分量情形中同時(shí)對(duì)解的爆破和整體存在性的影響.類似于第二章,我們首先給出方程在Hs(S)×Hs-1(s),s2/3中的局部適定性.再根據(jù)參數(shù)σ的符號(hào)討論強(qiáng)解的爆破準(zhǔn)則和爆破率,并且給出σ0時(shí)生命跨度的下界.最后通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)給出0≤σ2時(shí)整體強(qiáng)解的存在性.在第4章中我們研究修正兩分量Camassa-Holm系統(tǒng)高維情形的Cauchy問題.首先,運(yùn)用Littlewood-Paley分析和輸運(yùn)方程理論,我們分別給出超臨界和臨界非齊次Besov空間中的局部適定性,從而直接可得Sobolev空間中的局部適定性.然后利用能量方法導(dǎo)出解的爆破準(zhǔn)則.再考慮零密度極限以及零色散極限問題.最后給出穩(wěn)態(tài)弱解的Liouville型定理.
[Abstract]:In this paper, we study some properties of the solution of Cauchy problem for a class of shallow water wave equations, including locally suitable definiteness, blasting, the existence of global strong solutions and the existence of global weak solutions, etc. These shallow water wave equations are derived from modern mechanics and physics and are important research objects in nonlinear science, especially in the field of soliton and integrable systems. The structure of the thesis is as follows: chapter 1 briefly introduces the background and research status of the problem. In chapter 2, we consider the Cauchy problem of weakly dissipative generalized 渭 -Hunter-Saxton equation. We give the local fitness, the blow-up criterion and the blow-up rate of strong solution, the H / O 1der continuity of solution mapping, the existence of global strong solution and the existence of global weak solution. The main purpose of this paper is to discuss the influence of free parameter ore and dissipative parameter five on the blasting and global existence of the solution at the same time. By using Littlewood-Paley theory or Kato semigroup theory, we first prove that the equation is locally suitable for any initial value depression 鈭，

本文編號(hào)：2008576