本文選題：逆散射 + 非均勻介質(zhì)　； 參考：《東南大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：偏微分方程反問題一直是計算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究熱點,此類問題的難點在于它的不適定性和非線性性.在此類反問題中,由橢圓方程(Helmholtz方程或Maxwell方程組)描述的介質(zhì)逆散射問題是一類重要的研究課題,其基本任務(wù)是由介質(zhì)外部的散射波場的相關(guān)信息來確定介質(zhì)的內(nèi)部(邊界)性質(zhì).當(dāng)聲波或電磁波在各向同性的均勻背景介質(zhì)中傳播時遇到某種不均勻介質(zhì)或障礙物時就會發(fā)生散射現(xiàn)象,產(chǎn)生散射波.正散射問題是由已知的入射波和散射體來確定散射場,逆散射問題則是由散射場或者它的遠(yuǎn)場形式來確定散射體的一些性質(zhì),包括散射體的幾何形狀和邊界性質(zhì)等.基于波場散射的橢圓型方程的內(nèi)部透射特征值問題源于非均勻介質(zhì)的逆散射問題的若干近代求解方法,在因子分解方法、線性抽樣法求解聲波或電磁波的逆散射問題中起著至關(guān)重要的作用.具體而言,在采樣法中如果入射波的頻率為某種內(nèi)部透射特征值,則重構(gòu)算法將會失效,因而在這類方法的有效實現(xiàn)中要求入射波的頻率不能取內(nèi)部透射特征值.另一方面,內(nèi)部透射特值問題與介質(zhì)(障礙物)的隱身有著緊密聯(lián)系,當(dāng)入射聲波或者電磁波的頻率為內(nèi)部透射特征值時,此時在介質(zhì)(障礙物)外部的散射波有可能為零,這也就意味著如果基于波場散射信息來探測障礙物(這是工程領(lǐng)域現(xiàn)在廣為采用的方法之一),介質(zhì)(障礙物)在這種狀態(tài)下就隱身了.基于這樣的現(xiàn)象,在實際的工程應(yīng)用中,可以借助于透射特征值(由介質(zhì)的物理性質(zhì)決定)來指導(dǎo)設(shè)計隱身材料,這在基于雷達(dá)和聲吶探測的飛機(jī)和艦艇的隱身等軍事領(lǐng)域具有重大意義.特別的,我們知道可以由散射數(shù)據(jù)來決定實的透射特征值,而實透射特征值可以用來估計散射物體的折射率.因此實數(shù)特征值攜帶關(guān)于材料性質(zhì)的一些信息可以用來量化均勻介質(zhì)中存在的異常.很多情況下利用這些信息在無損檢測中可以用來對材料進(jìn)行測試.由于上述原因,實數(shù)透射特征值在一些最近發(fā)展的重建算法如線性抽樣、分解法及近代材料科學(xué)中起著重要的作用.因此對透射特征值的研究具有明確的工程意義和物理背景.數(shù)學(xué)上,波場散射的內(nèi)部透射問題可以描述為有界區(qū)域上的耦合的橢圓型方程的邊值問題,一般模型是由在區(qū)域內(nèi)部滿足的兩個物理方程(聲波散射為兩個Helmholtz方程,電磁場散射是兩個Maxwell方程組)加上邊界上滿足的透射條件構(gòu)成.盡管考慮的方程是標(biāo)準(zhǔn)的,但這一類問題卻不能用一般的橢圓形方程的算子理論解決,根本的原因是這一類問題在算子意義的框架下既不是橢圓算子,也不是自伴算子.這樣的特點導(dǎo)致了復(fù)數(shù)特征值的存在性及全體特征值在復(fù)平面上的分布都具有全新的特點,需要在數(shù)學(xué)上針對具體的散射問題進(jìn)行系統(tǒng)的研究.目前學(xué)術(shù)界關(guān)于透射特征值問題的研究主要集中于以美國Delware大學(xué)F.Cakoni課題組,德國Karlsruhe大學(xué)A.Kirsch課題組和法國國家信息與自動化研究所H.Haddar課題組的相關(guān)工作.但是,總體而言,這些工作還是針對具體模型發(fā)展的一些方法,很難有一個統(tǒng)一的理論.基于對已有的工作的小結(jié),本文考慮了若干散射模型的透射特征值問題,研究內(nèi)容包括特征值的分布性質(zhì)、實特征值的估計、特征值的存在區(qū)域估計等問題.全文共五章,具體工作包括:在第一章,對散射問題,介紹了正散射問題和逆散射問題研究的背景和應(yīng)用并在此基礎(chǔ)上闡述了本文的研究意義.給出了透射特征值問題及其一般模型的已有的重要結(jié)果和研究方法,包括用算子理論如何證明透射特征值的離散性.在最后簡述了本文的主要研究內(nèi)容和創(chuàng)新點.在第二章,研究帶有腔體的聲波透射特征值問題.首先由相關(guān)的散射模型導(dǎo)出腔體透射特征值問題的變分形式,在此基礎(chǔ)上證明了弱解的存在唯一性,和內(nèi)部透射特征值問題弱解與變分形式的解的等價性.對于帶有腔體的透射特征值問題,建立了實數(shù)特征值滿足的Faber-Krhn型不等式,利用解析Fredholm定理證明了透射特征值的離散性.在介質(zhì)透射系數(shù)為正常數(shù)的特殊情形,建立了由最小透射特征值確定折射率的唯一性結(jié)果.最后通過對透射特征值的定量分析,證明了在透射系數(shù)的一定假定條件不存在純虛數(shù)透射特征值,進(jìn)而在透射系數(shù)的更嚴(yán)格的假定下給出了復(fù)平面上不存在透射特征值的一個更大區(qū)域.在第三章,研究聲波散射帶有混合邊界條件的非均勻吸收介質(zhì)透射特征值問題.通過對變換后的高階橢圓方程的分析,得到了在一些條件下不存在純虛數(shù)特征值.利用閉算子的擾動理論,借助于建立的非均勻非吸收介質(zhì)在適當(dāng)條件下一定存在無窮多個實的透射特征值的結(jié)果,證明了帶有混合邊界條件的非均勻吸收介質(zhì)一定會存在無窮多個透射特征值并且以∞作為唯一可能的聚點.最后對于這種內(nèi)部透射特征值模型,在復(fù)平面上定量分析了透射特征值不存在的區(qū)域.在第四章,研究了一類特殊的電磁波散射模型的內(nèi)透射特征值問題,包括三維電磁波散射模型與簡化得到的二維聲波散射模型之間的關(guān)系.主要研究高振蕩介質(zhì)對應(yīng)的電磁波內(nèi)部透射特征值問題,即介質(zhì)的折射率n(x)是一個具有小振蕩周期ε0的實值函數(shù).對這種模型,由于方程系數(shù)的高度振蕩性,直接數(shù)值計算內(nèi)部透射特征值是不穩(wěn)定的.我們采用均勻化的方法建立了近似計算實透射特征值問題的一種穩(wěn)定的計算框架.研究了實數(shù)透射特征值kε和相應(yīng)的特征函數(shù)(Eε,E0ε)在介質(zhì)的振蕩周期ε → 0時的極限行為,理論上嚴(yán)格證明了帶有小參數(shù)的特征系統(tǒng)在一定意義下收斂于一個均勻化介質(zhì)對應(yīng)的特征系統(tǒng).這一理論結(jié)果為計算具有振蕩周期介質(zhì)的Maxwell方程的透射特征值提供了一種有效的方法.這里的方法同樣也適用于聲波散射的問題.在第五章,對全文進(jìn)行總結(jié),并對未來可能開展的一些工作作了展望.本文的創(chuàng)新點主要有如下幾方面.1,考慮腔體模型內(nèi)部透射特征值問題時在腔體內(nèi)部滿足的物理條件區(qū)別于已有文獻(xiàn),除得到類似文獻(xiàn)中透射特征值離散性和存在性結(jié)果之后,還進(jìn)一步證明了最小實數(shù)特征值可以唯一確定常數(shù)折射率,以及純虛數(shù)透射特征值的不存在性,進(jìn)而在復(fù)平面上分析了透射特征值不存在的區(qū)域;2,考慮了帶有混合邊界條件的吸收介質(zhì)的新模型的透射特征值問題,而已有工作僅考慮混合邊界或者僅考慮吸收介質(zhì)透射特征值的情況.推廣后的新模型更加適用于現(xiàn)實的物理背景.3,考慮振蕩介質(zhì)的Maxwell方程內(nèi)部透射特征值問題,這樣一個新模型的特點是由于介質(zhì)參數(shù)的高度振蕩性,直接計算透射特征值問題是不穩(wěn)定的,我們系統(tǒng)建立了利用均勻化理論近似計算透射特征值問題的模型,證明了兩個問題特征系統(tǒng)的收斂性.
[Abstract]:The inverse problem of partial differential equation has always been a hot topic in the calculation of mathematics and applied mathematics . The difficulty of this kind of problem lies in its discomfort and non - linearity . In this kind of inverse problem , the scattering phenomenon can be determined by means of scattering data . In chapter 3 , the problem of the transmission characteristic value of the transmission characteristic value is studied by means of the analysis of the transmission characteristic value of the cavity .

【學(xué)位授予單位】：東南大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O175.25;O441

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本文編號：1894467