本文選題：深度變化的淺水波方程 + 旋轉(zhuǎn)雙組份Camassa-Holm系統(tǒng)�。� 參考：《南京師范大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：本文主要對幾類水波方程進(jìn)行了一些研究.我們主要研究了四個(gè)問題：深度變化的淺水波方程,旋轉(zhuǎn)雙組份Camassa-Holm系統(tǒng),分層流中赤道邊緣波的不穩(wěn)定性及帶負(fù)表面張力的穩(wěn)定周期有旋重力波.論文由五部分構(gòu)成,結(jié)構(gòu)如下：第一章給出了本文的研究背景及所要用到的一些基本知識(shí).第二章,我們考慮在不平坦底部的淺水中模擬表面波的一個(gè)非線性發(fā)展方程.首先我們建立了在Sobolev空間Hs(s),其中s3/2的適定性.此外,我們同樣得到了在Besov空間B2,13/2拚的適定性結(jié)果.接著,我們在空間Hs(S),s3/2中得到了爆破準(zhǔn)則,并且得到了關(guān)于此模型一個(gè)簡化模型的一些爆破結(jié)果.最后我們研究了關(guān)于強(qiáng)解的持久性.第三章,我們推導(dǎo)了一個(gè)在有旋流中考慮Coriolis力的修正雙組份Camassa-Holm系統(tǒng),其是在赤道水波中的一個(gè)模型.我們研究了地球旋轉(zhuǎn)所引起的非局部及非線性對爆破所帶來的影響.我們所做的分析是基于特征線法、守恒量和此動(dòng)力系統(tǒng)的局部結(jié)構(gòu),具體過程是討論Riccati型微分不等式.此外,利用李雅普諾夫函數(shù)我們得到了保證波整體存在的的條件.接下來,我們對此系統(tǒng)的局部孤立波解進(jìn)行了分類.根據(jù)旋轉(zhuǎn)參數(shù)及流體對流中的平衡指數(shù),我們得出除了光滑孤立波解外,還存在'peakon'及'cusped'這樣的奇異孤立波解.最后,我們證明了此模型的水平對稱弱解必為行波解.第四章,我們首先給出了在有沿岸方向赤道潛流的分層流中赤道邊緣波的一個(gè)顯式精確解.接著,我們分析了對正壓的不可壓流體的短波擾動(dòng)法.最后,我們應(yīng)用此方法于分層流的赤道邊緣波中,得到了當(dāng)此波的坡度超過一個(gè)具體的臨界值時(shí)其是不穩(wěn)定的.第五章,我們考慮帶有負(fù)表面張力的二維穩(wěn)定周期有旋重力水波.所研究問題的小振幅解的局部曲線是通過利用Crandall-Rabinowitz局部分岔理論得到的.利用整體分岔理論結(jié)合帶有Venttsel邊界條件的橢圓方程的Schauder理論,我們將小振幅解的局部曲線延拓到解的整體連續(xù)體.此外,我們也證明了對于波剖面從波峰到波谷是單調(diào)的且在波谷處為嚴(yán)格單調(diào)的這些波而言,其關(guān)于波峰必是對稱的.
[Abstract]:In this paper, several kinds of water wave equations are studied. We mainly study four problems: the shallow water wave equation with depth variation, the rotating two-component Camassa-Holm system, the instability of the equatorial edge waves in stratified flows and the steady period of gravity waves with negative surface tension. The paper is composed of five parts. The structure is as follows: the first chapter gives the research background and some basic knowledge to be used. In chapter 2, we consider a nonlinear evolution equation for simulating surface waves in shallow water with uneven bottom. First, we establish the possitivity of S 3 / 2 in Sobolev space. In addition, we also obtain an appropriate qualitative result for B _ 2 ~ (13) / 2 in Besov space. Then, we obtain the blow-up criterion in the space HsSX / 3 / 2, and obtain some blasting results for a simplified model of this model. Finally, we study the persistence of strong solutions. In chapter 3, we derive a modified two-component Camassa-Holm system considering Coriolis forces in a swirling flow, which is a model in equatorial water waves. The nonlocal and nonlinear effects of earth rotation on blasting are studied. Our analysis is based on the method of characteristic line, the conserved quantity and the local structure of the dynamical system. The concrete process is to discuss the differential inequality of Riccati type. In addition, by using Lyapunov function, we obtain the conditions to guarantee the existence of the whole wave. Next, we classify the local solitary wave solutions of the system. Based on the rotational parameters and the equilibrium exponents in the fluid convection, we obtain the existence of singular solitary wave solutions such as Peakon 'and Cincus ped' in addition to the smooth solitary wave solutions. Finally, we prove that the horizontal symmetric weak solution of the model must be a traveling wave solution. In chapter 4, we first give an explicit and exact solution of the equatorial edge wave in a stratified flow with a coastal equatorial submersible current. Then, we analyze the short wave perturbation method for barotropic incompressible fluids. Finally, we apply this method to the equatorial edge wave of stratified flow and obtain that the wave is unstable when the slope of the wave exceeds a specific critical value. In chapter 5, we consider the two-dimensional steady period with negative surface tension. The local curve of the small amplitude solution is obtained by using Crandall-Rabinowitz 's local bifurcation theory. By using the global bifurcation theory and the Schauder theory of elliptic equations with Venttsel boundary conditions, we extend the local curve of the small amplitude solution to the global continuum of the solution. In addition, we also prove that for these waves whose wave profile is monotone from peak to trough and strictly monotone at the trough, the wave crest must be symmetric.
【學(xué)位授予單位】：南京師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O175.29

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本文編號(hào)：1889774