本文選題：電磁場和流體計(jì)算 + 時變麥克斯韋方程組��； 參考：《福建師范大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：電磁場與流體計(jì)算在氣象學(xué)、海洋學(xué)、生物醫(yī)學(xué)等科學(xué)與工程領(lǐng)域的重要性是不言而喻的.麥克斯韋方程組是描述電場與磁場運(yùn)動的基本模型.獲取該方程組的數(shù)值解在電子工程尤其是微波與天線工程領(lǐng)域有著重要的地位.而描述流體運(yùn)動特征的基本方程則是Stokes方程和Navier-Stokes方程,所以如何有效求解Stokes方程與Navier-Stokes方程是解決流體計(jì)算問題的關(guān)鍵.不論是麥克斯韋方程組,亦或是Stokes方程與Navier-Stokes方程,通過有限差分法、有限體積法或有限元法離散后,均生成具有特殊結(jié)構(gòu)的線性方程組,即所謂的鞍點(diǎn)問題.因此探討迭代法求解鞍點(diǎn)問題具有重大的現(xiàn)實(shí)意義.本文將研究由電磁波散射問題離散生成的對稱不定方程組、由時變麥克斯韋方程組離散生成的3×3塊鞍點(diǎn)問題、由Stokes方程離散生成的非奇異鞍點(diǎn)問題或其等價的非對稱形式、奇異的廣義鞍點(diǎn)問題以及由Navier-Stokes方程離散生成的非線性鞍點(diǎn)問題的數(shù)值解法及其預(yù)處理技術(shù)，并給出數(shù)值算法的收斂性分析與預(yù)處理矩陣的特征值界的估計(jì).具體結(jié)構(gòu)如下：第一章,簡要介紹利用棱單元法離散電磁波散射問題的過程,并討論快速求解離散得到的對稱不定線性方程組的方法.為了保持對稱性,本章用塊三角預(yù)條件子雙邊預(yù)處理系數(shù)矩陣,并分別給出預(yù)處理矩陣的正特征值與負(fù)特征值的上、下界.另一方面,本章還研究另一種塊三角預(yù)條件子且僅作單邊預(yù)處理,并分析預(yù)處理矩陣特征值實(shí)部與虛部的界.最后給出數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明所提預(yù)條件子的可行性.第二章,考慮有限元離散三維Lipschitz多面體域上的帶有間斷系數(shù)的時變麥克斯韋方程組,并探究有效的預(yù)處理技術(shù)求解離散生成的3×3塊鞍點(diǎn)問題.本章提出一個精確的塊對角預(yù)條件子求解對稱鞍點(diǎn)問題及其等價的非對稱形式,并證明對應(yīng)的預(yù)處理矩陣只有六個互不相同的特征值.為了實(shí)際應(yīng)用的需要,本章還構(gòu)造了一類非精確塊對角預(yù)條件子.對于對稱形式的方程,分別估計(jì)了預(yù)處理矩陣正特征值與負(fù)特征值的上、下界.非對稱形式則分別給出預(yù)處理矩陣實(shí)特征值與復(fù)特征值的實(shí)部及虛部的界.數(shù)值算例驗(yàn)證所提新的預(yù)條件子的有效性與穩(wěn)定性.第三章,利用混合有限元法將Stokes方程離散成線性鞍點(diǎn)問題.通過對離散生成的線性方程組的系數(shù)矩陣再分塊,構(gòu)造了求解Stokes方程離散鞍點(diǎn)系統(tǒng)的兩個新的迭代法.一個是將塊Gauss-Seidel方法與Uzawa迭代法相結(jié)合,我們稱之為BGS-Uzawa迭代法.另一個則是在塊Jacobi方法與Uzawa迭代法基礎(chǔ)上建立了變參數(shù)的BJ-Uzawa算法.在參數(shù)滿足一定的條件下,分別研究了這兩種新算法的收斂性.最后給出一些數(shù)值算例,將本章所提算法與逐次超松弛方法及Uzawa方法作比較,驗(yàn)證這兩種新算法的可行性與有效性.第四章,繼續(xù)研究由Stokes方程離散生成的鞍點(diǎn)問題.將該鞍點(diǎn)問題進(jìn)行巧妙的預(yù)處理,基于對預(yù)處理矩陣的分裂構(gòu)造了新的預(yù)處理迭代法(簡記為PTU方法).同時在適當(dāng)假設(shè)下給出了PTU方法收斂性分析以及最優(yōu)參數(shù)的選取方式.然后,對PTU方法所誘導(dǎo)出的新的預(yù)條件子進(jìn)行研究,討論了預(yù)處理矩陣的譜性質(zhì).此外,基于PTU方法,本章還建立非線性非精確PTU迭代法,并研究了收斂性條件與最優(yōu)參數(shù)的選取方式.數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明本章所提的算法是有競爭力的.第五章,仍舊探討求解Stokes方程離散鞍點(diǎn)系統(tǒng)的有效算法.本章針對該鞍點(diǎn)問題的非對稱形式提出了一類非精確松弛退化的正定與反Hermitian分裂(RDPSS)預(yù)條件子.這類預(yù)條件子是對松弛退化的正定與反Hermitian分裂(PSS)預(yù)條件子[206]的技術(shù)改進(jìn).PSS預(yù)條件子是由文獻(xiàn)[29]研究的用于求解非Hermitian正定線性方程組的正定與反Hermitian分裂(PSS)迭代法直接導(dǎo)出.數(shù)值模擬驗(yàn)證了所提的非精確RDPSS預(yù)條件子優(yōu)于現(xiàn)有的一類預(yù)條件子.第六章,先對Stokes方程進(jìn)行穩(wěn)定化處理，再將其離散成線性廣義鞍點(diǎn)問題.本章首先給出廣義鞍點(diǎn)矩陣的特征值更精確的界,然后構(gòu)造一類新的非奇異預(yù)條件子,證明了用廣義極小殘量法求解相應(yīng)預(yù)處理方程時,對任意初始向量,廣義極小殘量法均能收斂于原問題的解且不出現(xiàn)中斷.此外還分析了預(yù)處理矩陣的譜性質(zhì).將這些非奇異預(yù)條件子應(yīng)用于求解由Stokes方程離散生成的奇異鞍點(diǎn)系統(tǒng),通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)考察這些非奇異預(yù)條件子的數(shù)值表現(xiàn).第七章,直接對Navier-Stokes方程采用混合有限元離散，，得到一組特殊結(jié)構(gòu)的非線性方程組，即非線性鞍點(diǎn)問題.本章主要致力于構(gòu)造求解非線性鞍點(diǎn)問題有效的Uzawa型算法.基于一步牛頓格式,提出兩個求解該非線性方程的非線性非精確Uzawa混合算法.借助能量范數(shù),證明了所提算法在合理假設(shè)下的收斂性.最后,通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)說明所提算法的有效性。
[Abstract]:In order to keep the symmetry , it is important to solve the problem of solving the saddle point by using the finite difference method , the finite volume method or the finite element method . In the second chapter , we discuss the problem of solving the saddle point by using the finite difference method , the finite volume method or the finite element method . In this chapter , a class of non - singular pre - condition sub - conditions are proposed for solving the problem of nonlinear saddle point .

【學(xué)位授予單位】：福建師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.6

【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前4條

1 黃娜;馬昌鳳;謝亞君;;一類Hermitian鞍點(diǎn)矩陣的特征值估計(jì)[J];計(jì)算數(shù)學(xué);2015年01期

2 趙景余;張國鳳;常巖磊;;求解鞍點(diǎn)問題的一種新的結(jié)構(gòu)算法[J];數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用;2009年02期

3 ;THE RESTRICTIVELY PRECONDITIONED CONJUGATE GRADIENT METHODS ON NORMAL RESIDUAL FOR BLOCK TWO-BY-TWO LINEAR SYSTEMS[J];Journal of Computational Mathematics;2008年02期

4 白中治;Construction and Analysis of Structured Preconditioners for Block Two-by-Two Matrices[J];Journal of Shanghai University;2004年04期

本文編號：1847895