本文選題：非線性時間分數(shù)階Cable方程 + 時空分數(shù)階偏微分方程　； 參考：《內(nèi)蒙古大學(xué)》2017年碩士論文

【摘要】：本文主要利用兩類二階時間逼近格式結(jié)合有限元方法數(shù)值求解含有時間分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的非線性Cable方程和含有時空分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的一類非線性偏微分方程.在此前的研究中,對于含有分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的Cable方程,通常采用L1逼近離散Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù),并得到2-α階的近似精度.在本文中,我們利用具有2階近似精度的一類加權(quán)離散公式逼近Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù),進而形成二階離散格式.另外我們利用有限元方法結(jié)合WS G D算子的離散技巧數(shù)值求解一類時空分數(shù)階偏微分方程,并得到時間二階逼近結(jié)果.首先,對于非線性時間分數(shù)階Cable方程,在tk-α/2時間點處,我們用一個帶有參數(shù)α的兩步格式來近似整數(shù)階時間導(dǎo)數(shù),采用具有2階精度的加權(quán)離散格式來近似Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù),并利用Galerkin有限元法進行空間方向離散,形成時間二階逼近的有限元數(shù)值方法.進一步,我們給出了一些數(shù)值理論,證明了格式的穩(wěn)定性,并得到基于L2模意義下的帶有O(△t2 +(1+△t-α)hm+1 精度的誤差估計結(jié)果.為了說明理論結(jié)果的正確性,我們通過幾個算例給出數(shù)值驗證.其次,利用二階WSGD逼近結(jié)合有限元數(shù)值方法數(shù)值求解含有時空分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的一類偏微分方程,給出了詳細的數(shù)值計算過程,并通過三類數(shù)值例子對格式進行有效驗證.數(shù)值結(jié)果顯示我們的數(shù)值格式具有二階近似精度.
[Abstract]:In this paper, two kinds of second-order time approximation schemes combined with finite element method are used to numerically solve the nonlinear Cable equations with time fractional derivatives and a class of nonlinear partial differential equations with space-time fractional derivatives. In previous studies, for Cable equations with fractional derivatives, L1 is usually used to approximate discrete Riemann-Liouville fractional derivatives, and the approximate accuracy of order 2- 偽 is obtained. In this paper we use a class of weighted discrete formulas with 2-order approximation accuracy to approximate the fractional derivative of Riemann-Liouville and then form a second-order discrete scheme. In addition, the finite element method combined with the discrete technique of WS G D operator is used to numerically solve a class of fractional partial differential equations in space and time, and the time second order approximation results are obtained. Firstly, for nonlinear time fractional order Cable equation, we use a two-step scheme with parameter 偽 to approximate the integer order time derivative at tk- 偽 / 2 time point, and use a weighted discrete scheme with second-order accuracy to approximate the Riemann-Liouville fractional derivative. The Galerkin finite element method is used to discretize the spatial direction to form the time second order approximation finite element numerical method. Furthermore, we give some numerical theories, prove the stability of the scheme, and obtain the error estimation results with the accuracy of O (t ~ (2)) ~ (1) t ~ (-1) ~ (-1) based on L _ 2 norm. In order to illustrate the correctness of the theoretical results, numerical verification is given through several numerical examples. Secondly, a class of partial differential equations with space-time fractional derivatives is numerically solved by using second-order WSGD approximation and finite element numerical method. The detailed numerical calculation process is given, and the scheme is validated by three numerical examples. The numerical results show that our numerical scheme has a second order approximate accuracy.
【學(xué)位授予單位】：內(nèi)蒙古大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O241.82

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本文編號：1798435