本文選題：平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程　切入點(diǎn)：平方增長(zhǎng)　出處：《山東大學(xué)》2015年碩士論文

【摘要】：自Buckdahn,Djehiche,Li和Peng[1]首次引入平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程以后,這類(lèi)方程便受到廣泛關(guān)注。Du,Li和Wei[2]考慮了一維帶連續(xù)系數(shù)的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程。學(xué)者們發(fā)現(xiàn)此類(lèi)方程同偏微分方程、隨機(jī)控制以及隨機(jī)微分對(duì)策等不同領(lǐng)域中的問(wèn)題聯(lián)系緊密(可參見(jiàn)[1],[3],[4],[5])。然而,在以往的工作中,對(duì)方程生成元的假設(shè)均較強(qiáng)。在本文中,我們首先證明當(dāng)終端有界時(shí),生成元在不同假設(shè)下,平方增長(zhǎng)的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程解的存在性。另一方面,經(jīng)典的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程都是基于自然信息流的(由布朗運(yùn)動(dòng)生成),本文還考慮了一類(lèi)關(guān)于一般信息流的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程。因此,論文內(nèi)容主要可分為兩個(gè)部分。第一部分：我們討論了在不同假設(shè)下的一維平方增長(zhǎng)的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程M=(?)+(?)tT E'[f(s,Y's,Ys,Za)]ds-(?)tT ZadWs,0≤t≤T (1)解的性質(zhì),這里“平方增長(zhǎng)”主要是指生成元.f(t,y’,y,z)關(guān)于z平方增長(zhǎng)。由于終端值∈無(wú)界的情形較為復(fù)雜且不易處理,因此,我們對(duì)方程(1)的討論均是在終端值有界的框架下進(jìn)行的。第一,我們證明了當(dāng)生成元f連續(xù)且關(guān)于y’單調(diào)遞增、關(guān)于y超線性增長(zhǎng)、關(guān)于z二次增長(zhǎng)時(shí),|f(t,y'y,z)|≤l(y)+C|z|2,其中l(wèi)為一函數(shù)類(lèi)中的嚴(yán)格正值連續(xù)函數(shù),(1)存在最大有界解。由于平方增長(zhǎng)的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程結(jié)構(gòu)的特殊性,我們利用指數(shù)變換法,通過(guò)考慮其相應(yīng)等價(jià)方程解的存在性來(lái)研究方程(1)的解。我們選取了一列連續(xù)函數(shù)序列去逼近等價(jià)方程的生成元,這與以往利用Lipschitz函數(shù)序列逼近的方法有所差別。同時(shí),我們得到在此類(lèi)假設(shè)下,方程(1)亦有相應(yīng)的比較定理,比較定理對(duì)后面的推廣起到了關(guān)鍵作用。第二,我們證明了若生成元f關(guān)于y滿足單調(diào)性條件,(f(t,y',y,z)-f(t,y',0,z))y≤μy2對(duì)某常數(shù)μ≥0,以及關(guān)于z平方增長(zhǎng)且|f(t,y',y,z)|≤(?)(|y|)+A|z|2對(duì)某連續(xù)非遞減函數(shù)(?):R+→R+及常數(shù)4≥0,此時(shí)方程(1)存在一最大有界解。第三,我們得到了一個(gè)一般性的結(jié)果。當(dāng)生成元f(t,y',y,z)關(guān)于y’單調(diào)遞增、關(guān)于(f’,y)線性增長(zhǎng)以及關(guān)于z二次增長(zhǎng)時(shí),|f(t,y',y,z)|≤C(1+|y'|+|y|+|z|2),方程(1)存在一最大有界解。第二部分：本文推廣了一類(lèi)關(guān)于一般信息流的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程,形式如下Yt=(?)+(?)和tTE'[f(s,Y's,Ys)]ds-(MT-Mt), (2)其中M為關(guān)于該信息流適應(yīng)的“右連左極”鞅。我們考慮生成元f滿足如下假設(shè)：(M1)E[(?)0T|f(t,0,0)|2]∞;(M2)存在常數(shù)G0,使得對(duì)所有的(y1,y2,z1,z2)∈R4, |f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)|≤C(|y1-y2|+|z1-z2|,P-a.s.；(M3)存在兩正值、確定性函數(shù)u(t),u(t),使得對(duì)所有的(y1,y2,z1,z2)∈R4，，|f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)|≤u(t)|y1-y2|+v(t)|z1-z2|,P-a.s.,其中(?)0T[u(t)+u(t)]dt+∞；(M4)存在常數(shù)C0,使得(y1-y2)(f(t,y'1,y1)-f(t,y'2,y2))≤C|y1-y2|2,P-a.s.；(M5)f(t,y',y)關(guān)于y’,y連續(xù),且存在一正值確定性函數(shù)A(t),使得對(duì)所有的y',y∈R, |f(t,y',y)|≤A(t),pa.8.其中(?)0TA(s)ds∞。我們分別證明了當(dāng)生成元.f滿足假設(shè)條件(M1)+(M2),(M1)+(M3), (M1)+(M4)+(M5)時(shí),(2)在S2×M2空間存在唯一解。最后,在此基礎(chǔ)上,我們又討論了一類(lèi)帶反射的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程,形如并得到當(dāng)生成元.f滿足假設(shè)(M1)和(M2)時(shí),(3)存在唯一解。
[Abstract]:Since the first introduction of the average field inversion stochastic differential equation from Buckdahn , Djehiche , Li and Peng Li 1 , this kind of equation is widely concerned . Du , Li and Wei Yan 2 have considered the average field inversion stochastic differential equation with the continuous coefficient of one dimension . On the other hand , the classical mean field inversion stochastic differential equation is based on the existence of the solution of the stochastic differential equation . On the other hand , the classical mean field inverse stochastic differential equation is based on the existence of the solution of the stochastic differential equation . This paper studies the solution of equation ( 1 ) by considering the existence of equation ( 1 ) . For a continuous non - decreasing function ( ? ) : R + 鈫

本文編號(hào)：1727703