本文選題：Hecke特征形　切入點(diǎn)：模形式　出處：《山東大學(xué)》2017年博士論文

【摘要】：Hecke算子是一類模形式空間構(gòu)造以及一般自守表示被廣泛應(yīng)用的"均值"算子,在模形式理論中有很重要的地位.1917年,Mordell最先在研究Ramanujan給出的一個(gè)特殊尖形式時(shí),使用了這類算子.1937年,Hecke給出了它的一般性定義.對(duì)于整數(shù)k,正整數(shù)n以及權(quán)為k的模形式(f),Hecke算子T_n定義為Hecke算子有很多很好的性質(zhì),比如,它的乘法是結(jié)合的且可交換的(因此Hecke算子生成一個(gè)交換代數(shù),稱Hecke算子代數(shù)),此外,它還是可乘的以及在Petersson內(nèi)積下為自共軛的等等.Hecke特征形f(z)(在SL_2(Z)的情形下經(jīng)常也被簡(jiǎn)單的稱為特征形)是一個(gè)模形式,且是所有Hecke算子的特征向量.也就是說(shuō),對(duì)于所有正整數(shù)n,存在復(fù)常數(shù)λ(n),使得(T_nf)(z)= λ(n)f(z).Eisenstein級(jí)數(shù)就是特征形的一個(gè)簡(jiǎn)單例子,它也是僅有的非尖形式的特征形.△函數(shù)是另一個(gè)典型的權(quán)為12的特征形.Hecke特征形f(z)的Fourier展式為若a_0 = 0,則為Hecke尖形式;若a_1 = 1,則稱其為正規(guī)化的.不失一般性,本文中探討的都是正規(guī)化的Hecke特征形.Hecke特征形是數(shù)論研究中的一個(gè)很重要的問(wèn)題,在數(shù)學(xué)分析,組合數(shù)學(xué)和物理學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用.它是數(shù)學(xué)家研究的熱點(diǎn)問(wèn)題,近年來(lái),Ahmad,Wissam,Holowinsky,Luo,Ono,Soundararajan,Samak 等很多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家都在這方面有很多杰出的成果(見(jiàn)[6,13,20,21]等).本文中,我們將研究尖形式(也就是說(shuō),相應(yīng)Fourier展式中a0 = 0)下Hecke特征形的的兩個(gè)問(wèn)題,分別是它的非平凡素?cái)?shù)問(wèn)題和周期多項(xiàng)式零點(diǎn)分布問(wèn)題.首先我們介紹關(guān)于Hecke特征形的非平凡素?cái)?shù)問(wèn)題.取偶數(shù)k4,令M_k(或S_k)為SL_2(Z)上權(quán)為kk的正則模形式(或尖形式)組成的有限維C-向量空間;此外,令M_k~i為SL_2(Z)上權(quán)為k的弱正則模形式組成的無(wú)限維空間(見(jiàn)[18]).對(duì)于一個(gè)亞純模形式,若它的極點(diǎn)(如果存在的話)都在尖點(diǎn)處,則它為弱正則的.我們記SL_2(Z)上的模形式在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的Fourier展式為令O_L為數(shù)域L下的代數(shù)整數(shù)環(huán),對(duì)于正規(guī)化的Hecke特征形如果存在對(duì)應(yīng)于素?cái)?shù)P的素理想p(?)O_L使得a_f(p)= 0(mod p),那么我們稱f(z)是p非平凡的.對(duì)于f(z)上的非平凡素?cái)?shù)分布,一個(gè)很著名的問(wèn)題如下(見(jiàn)Gonv(?)a的說(shuō)明性文章[7]).問(wèn)題對(duì)于一個(gè)一般性的正規(guī)化Hecke特征形f(z),它有無(wú)限多的非平凡素?cái)?shù)嗎?盡管對(duì)于SL_2(Z)的某些同余子群上的模形式(比如CM尖形式,權(quán)為2的關(guān)于Q上的橢圓曲線的newform等等)有更強(qiáng)的結(jié)果,但這一問(wèn)題目前并沒(méi)有太多的結(jié)果.2005年,Choie,Kohnen和Ono[2]得到了關(guān)于p = 2,3,以及δ(k)≠0時(shí)p≥ 5的一個(gè)結(jié)果.我們并沒(méi)有解決這一問(wèn)題,它依然是開(kāi)放的.但是,我們?cè)贑hoie,Kohnen和Ono的基礎(chǔ)上得到了下面這個(gè)相關(guān)結(jié)果.定理1 對(duì)于任意的有限多個(gè)素?cái)?shù)組成的集合S,都有無(wú)限多個(gè)SL_2(Z)上的Hecke特征形使得所有的p ∈ S對(duì)于它們都是非平凡的.然后我們探討關(guān)于Hecke特征形的周期多項(xiàng)式零點(diǎn)分布問(wèn)題.對(duì)于模形式來(lái)說(shuō),一個(gè)很自然(而且有用)的問(wèn)題就是研究它的Eichler積分的有關(guān)性質(zhì).盡管ε_(tái)f(z)并不是一個(gè)模形式,但是它可以跟模形式的周期函數(shù)聯(lián)系起來(lái),這是關(guān)于f(z)的另一個(gè)很重要的課題.該周期函數(shù)定義為它的偶部和奇部分別為特別的,令Γ為PSL_2(R)的離散子群,且i∞為它的一個(gè)拋物尖點(diǎn).對(duì)于尖形式f(z)∈S_k(г),k ∈ 2Z≥0,相應(yīng)的周期函數(shù)即不難看出,此時(shí)r_f(z)為k-2次多項(xiàng)式,它的系數(shù)包含f(z)的相關(guān)L-函數(shù)的特殊值L(f,1),L(f,2),...,L(f,k-1),為它們的一個(gè)生成函數(shù)(見(jiàn)[17]).也就是說(shuō),這樣的周期多項(xiàng)式提供了 Eichler積分和L-函數(shù)的特殊值的聯(lián)系.相應(yīng)L-函數(shù)的特殊值在算術(shù)幾何和數(shù)論中也是一個(gè)很重要的研究對(duì)象.對(duì)于周期多項(xiàng)式的一般性質(zhì),見(jiàn)[3,16,17,25,32];其余跟本文相關(guān)的文章有[8,23].與Hecke特征形相關(guān)的周期多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布問(wèn)題是一個(gè)重要的課題.由函數(shù)方程,它們被猜測(cè)位于相應(yīng)圓周上,由于與Riemann猜想的相似性,這也被稱為周期多項(xiàng)式上的Riemann猜想.2013 年,Conrey,Farmer 和 Lnamoglu 在[4]中證明 了對(duì)于 Hecke 特征形f ∈S_k(SL_2(Z))來(lái)說(shuō),它的周期多項(xiàng)式的奇部在0,±2,±1/2有簡(jiǎn)單零點(diǎn),在±1有雙重零點(diǎn),其余零點(diǎn)都落在單位圓周上.2014年,El-Guindy和Raji[6]更進(jìn)一步的證明了所有Sk(SL_2(Z))中的Hecke特征形對(duì)應(yīng)的周期多項(xiàng)式的零點(diǎn)全部位于單位圓周｜z｜ = 1上.在本文中,我們探討算術(shù)Hecke群H_q上Hecke特征形以及г_0(N)上相應(yīng)的newform的周期多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布問(wèn)題.除了延拓了 El-Guindy和Raji的結(jié)果之外,我們還證明了隨著k → ∞,相應(yīng)的零點(diǎn)趨向于均勻分布.關(guān)于算術(shù)Hecke群,我們的結(jié)果如下:定理2 令г為某個(gè)Hecke群H_3,H_4,H_6或H_∞.若Hecke特征形f(z)=∑_(n≥1)a_nq~n∈S_k(г)的權(quán)k充分大,那么相應(yīng)的周期函數(shù)rf(z)的零點(diǎn)都在單位圓上.此外,隨著k→ ∞,零點(diǎn)趨向于平均分布.值得一提的是,從證明過(guò)程中可以得知,滿足Ramanujan-Petersson猜想的情形下,定理2的前半部分結(jié)論對(duì)一系列包含的PSL_2(R)的離散子群г上的Hecke特征形都成立.對(duì)于г_0(N),我們對(duì)Hecke特征形的子集newform也得到了相應(yīng)的結(jié)果.Newform構(gòu)成空間,它是正規(guī)化的尖形式,而且是所有Hecke算子以及Atkin-Lehner對(duì)合(這里p｜N)和Fricke對(duì)合的特征形.定理3 令f(z)∈S_k(г_0(n)為newform.若K≥4,那么相應(yīng)的周期函數(shù)rf(X)的零點(diǎn)都在圓.將rf(z)限制到圓周上,我們將其轉(zhuǎn)化為了關(guān)于三角多項(xiàng)式的問(wèn)題,通過(guò)研究相應(yīng)的符號(hào)變換數(shù)量,我們可以得到定理3.此外,我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)權(quán)kk或級(jí)N充分大時(shí),rf(z)的零點(diǎn)在圓周上的分布是有規(guī)律的,更進(jìn)一步的確定相應(yīng)三角多項(xiàng)式根的位置,我們就得到了下面的定理.定理4 對(duì)newform f(z)∈ S_k(г_0(N)),以下命題為真.(i)令= 4.當(dāng)∈(f)=-1時(shí),r_f(z)的零點(diǎn)為±i/N∈(f)= 1時(shí),對(duì)于充分大的N,r_f(z)的零點(diǎn)位于.(ii)令偶數(shù)k≥6,若N或充分大,則r_f(z)的零點(diǎn)可被寫(xiě)為其中,對(duì)于0≤L≤2m-1我們定義θ_l為方程在區(qū)間[0,2π)內(nèi)的唯一解.
[Abstract]:Hecke operator is a modular form space structure and general automorphic representation is widely used "mean" operator, in modular form theory has a very important position in.1917, Mordell is the first in a special form of Ramanujan tip are given when using this type of operator.1937, Hecke gives its general the definition for integer k, integer n and right to die in the form of K (f), Hecke operator T_n is defined as the Hecke operator has many good properties, for example, it is a combination of multiplication and commutative (hence the Hecke operator generates a commutative algebra, called Hecke algebra), in addition, it is by Petersson and the inner product is self adjoint and so on characteristics of.Hecke f (z) (SL_2 (Z) in the case often is simply called the characteristic shape) is a modular form, and the feature vector is all Hecke operator. That is to say, for all positive integers n, 瀛樺湪澶嶅父鏁拔，

本文編號(hào)：1719834