本文選題：Chebyshev多項(xiàng)式　切入點(diǎn)：算子矩陣　出處：《燕山大學(xué)》2016年碩士論文

【摘要】：變分?jǐn)?shù)階微積分是分?jǐn)?shù)階微積分理論的拓展。與分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展歷程一樣,被提出之后的許多年只是用于理論性研究。近些年來,隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,一些工科領(lǐng)域開始涉及變分?jǐn)?shù)階微積分,因?yàn)樽兎謹(jǐn)?shù)階微積分的特性之一就是可以較好地描述較大頻率范圍內(nèi)材料的遺傳特性與記憶特性。然而變分?jǐn)?shù)階微積分相關(guān)問題的研究文獻(xiàn)相對(duì)匱乏,并不能滿足實(shí)際問題需要。本文將給出一種求解三類變分?jǐn)?shù)階微積分方程數(shù)值解的算法,包括一維線性、一維非線性變分?jǐn)?shù)階微積分方程以及二維變時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程,旨在對(duì)該領(lǐng)域的研究有所幫助。主要包括以下幾方面內(nèi)容:首先,本論文基于移位Chebyshev多項(xiàng)式對(duì)一維解函數(shù)進(jìn)行逼近,之后給出移位Chebyshev多項(xiàng)式逼近函數(shù)的誤差估計(jì)及其收斂性分析。根據(jù)變分?jǐn)?shù)階微積分定義的特點(diǎn)推導(dǎo)出變分?jǐn)?shù)階微分算子矩陣。通過算子矩陣使一維線性變分?jǐn)?shù)階微積分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,再通過離散點(diǎn)的帶入得到代數(shù)方程組,求解代數(shù)方程組即得到原問題的數(shù)值解。其次,對(duì)于一維非線性變分?jǐn)?shù)階微積分問題,首先給出移位Chebyshev多項(xiàng)式的一階積分算子矩陣和微分算子矩陣。利用算子矩陣將一維非線性變分?jǐn)?shù)階微分方程轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程,通過離散變量將原問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程組,進(jìn)而求得原方程的數(shù)值解。最后通過非線性算例將本文提出的算法與差分法進(jìn)行比較,體現(xiàn)出本文提出算法的優(yōu)勢(shì)。最后,論文把Chebyshev多項(xiàng)式逼近的方法推廣到二維變分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值求解中,推導(dǎo)算法過程,最后通過實(shí)例與差分法進(jìn)行比較,證明本文提出算法的有效性和高效性。
[Abstract]:Variational fractional calculus is an extension of fractional calculus theory.As with the development of fractional calculus, it has been used for theoretical research for many years since it was proposed.In recent years, with the development of science and technology, some engineering fields begin to involve variable fractional calculus, because one of the characteristics of variable fractional calculus is that it can describe the genetic and memory characteristics of materials in a large frequency range.However, the literature on the related problems of variational fractional calculus is relatively scarce and can not meet the needs of practical problems.In this paper, we present an algorithm for solving three kinds of variational fractional calculus equations, including one dimensional linear, one dimensional nonlinear variational fractional order differential equations and two dimensional variable time fractional diffusion equations. The purpose of this paper is to be helpful to the study of this field.The main contents are as follows: firstly, this paper approximates the one-dimensional solution function based on the shift Chebyshev polynomial, and then gives the error estimate and convergence analysis of the shift Chebyshev polynomial approximation function.According to the characteristics of the definition of variational fractional calculus, the variational fractional differential operator matrix is derived.The one-dimensional linear variational fractional calculus equation is transformed into an algebraic equation by operator matrix, and then the algebraic equations are obtained through the introduction of discrete points, and the numerical solution of the original problem is obtained by solving the algebraic equations.Secondly, the first order integral operator matrix and differential operator matrix of shift Chebyshev polynomials are given for one dimensional nonlinear variational fractional order calculus problems.The nonlinear fractional differential equations of one dimension are transformed into algebraic equations by operator matrix, the original problems are transformed into algebraic equations by discrete variables, and the numerical solutions of the original equations are obtained.Finally, a nonlinear example is given to compare the proposed algorithm with the difference method, which shows the advantages of the proposed algorithm.Finally, the Chebyshev polynomial approximation method is extended to the numerical solution of two-dimensional variational fractional differential equations, and the algorithm process is deduced. Finally, the effectiveness and efficiency of the proposed algorithm are proved by comparing the algorithm with the difference method.
【學(xué)位授予單位】：燕山大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.8

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本文編號(hào)：1716468