本文選題：反散射方法　切入點(diǎn)：GLM方程　出處：《中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)》2017年博士論文

【摘要】：本文使用反散射方法、Riemann-Hilbert方法和達(dá)布變換方法研究Wadati-Konno-Ichikawa(WKI)方程的孤立子解、呼吸子解和怪波解.第一章主要介紹本文的研究對(duì)象——WKI方程,以及本文所使用的三種方法.第二章給出反散射方法求解WKI方程的N階孤立子解.WKI方程的約斯特解比較特殊,當(dāng)譜參數(shù)趨向于無窮時(shí),約斯特解的兩個(gè)分量并不是趨向于1或者0的情形,而是關(guān)于勢函數(shù)的變量.文章將原來約斯特解的第二個(gè)分量替換為該分量與譜參數(shù)的商,化簡約斯特解的漸近行為,并使用變換之后約斯特解的三角核(triangular kernel)表示構(gòu)造 Gel'fand-Levitan-Marchenko(GLM)方程,求解GLM方程,從而得到WKI方程的N階孤立子解.第三章給出Riemann-Hilbert方法求解WKI方程的N階孤立子解.第二章約斯特解的漸近行為表明WKI方程的約斯特解不能直接用來構(gòu)造Riemann-Hilbert問題,否則將會(huì)導(dǎo)致Riemann-Hilbert問題不可解.為解決此困難,文中引入變換矩陣得到合適的約斯特解,并對(duì)譜參數(shù)在原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)處進(jìn)行譜分析構(gòu)造可解的Riemann-Hilbert問題,從而求解WKI方程的N階孤立子解.第四章給出Darboux變換方法求解WKI方程的N階解.由于WKI方程拉克斯對(duì)形式的特殊型,文中首先引入hodograph變換得到WKI方程的等價(jià)形式——廣義WKI方程,然后研究廣義WKI方程的達(dá)布變換,最后將廣義WKI方程的解轉(zhuǎn)化為WKI方程的解.此外,我們還研究廣義WKI方程N(yùn)階孤立子解的漸近形式,怪波的解析性以及轉(zhuǎn)化為WKI方程的圈形孤立子解和圈形怪波解.
[Abstract]:In this paper, the Riemann-Hilbert method and Darboux transform method are used to study the soliton solution, respiration solution and odd wave solution of the Wadati-Konno-Ichikawa WKI equation. In chapter 2, the inverse scattering method is given to solve the N-order soliton solution of the WKI equation. The Yost solution of the WKI equation is quite special, when the spectral parameters tend to be infinite, The two components of the Jost solution are not the case that tends to 1 or 0, but the variables of the potential function. In this paper, the second component of the original solution is replaced by the quotient of the component and the spectral parameter, and the asymptotic behavior of the solution is simplified. The GLM equation is constructed by using the triangular kernels of the Jost's solution after the transformation, and the Gelfand-Levitan-Marchenkoan GLM equation is constructed, and the GLM equation is solved. In chapter 3, the Riemann-Hilbert method is given to solve the N-order soliton solution of the WKI equation. In chapter 2, the asymptotic behavior of the Jost solution shows that the WKI equation solution cannot be directly used to construct the Riemann-Hilbert problem. Otherwise, the Riemann-Hilbert problem will not be solvable. In order to solve this difficulty, the transformation matrix is introduced to obtain the suitable solution of the Riemann-Hilbert problem. The spectral parameters are analyzed at the origin and infinity to construct the solvable Riemann-Hilbert problem. In chapter 4, the Darboux transformation method is given to solve the N-order solution of WKI equation. Because of the special form of the WKI equation, the hodograph transformation is introduced to obtain the equivalent form of WKI equation, the generalized WKI equation. Finally, the solution of the generalized WKI equation is transformed into the solution of the WKI equation. In addition, we also study the asymptotic form of the N-order soliton solution of the generalized WKI equation. The analytic properties of strange waves and the solutions of circular solitons and circular strange waves transformed into WKI equations.
【學(xué)位授予單位】：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O175

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本文編號(hào)：1686760