由于費(fèi)時的網(wǎng)格生成過程以及在后續(xù)的網(wǎng)格加細(xì)過程中所遇到的困難,傳統(tǒng)的有限元方法在處理復(fù)雜幾何區(qū)域時遇到了很大瓶頸。近年來,等幾何分析被提出來以解決這一關(guān)鍵問題。本文中,我們進(jìn)一步提出了結(jié)合間斷有限元方法的等幾何分析方法來來處理復(fù)雜區(qū)域上微分方程的求解問題。我們用多個互不重疊的NURBS片來表示復(fù)雜的幾何模型。由于各個NURBS片上的基函數(shù)是完全獨(dú)立的,間斷有限元方法恰好能夠?qū)崿F(xiàn)多片的拼接以得到正確的解。值得注意的是,我們是在片的層次上運(yùn)用間斷有限元方法的,即只在片與片的公共邊界處采用間斷有限元方法,而在每一片的內(nèi)部仍然采用標(biāo)準(zhǔn)的等幾何分析方法。本文方法集合了等幾何分析方法和間斷有限元方法兩者的優(yōu)點(diǎn),這使得我們能夠設(shè)計出性能優(yōu)異的數(shù)值格式。首先,等幾何分析方法的運(yùn)用避免了傳統(tǒng)有限元中費(fèi)時的網(wǎng)格生成過程,同時,后續(xù)的網(wǎng)格加細(xì)操作也可以通過樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)插入算法和升階算法輕易地實(shí)現(xiàn)。其次,等幾何分析基函數(shù)的靈活性,尤其是多片的運(yùn)用,使得我們可以更為準(zhǔn)確甚至精確地表示更復(fù)雜的幾何模型。這樣,從一開始就明顯地降低甚至消除了以往用離散網(wǎng)格來逼近幾何模型時所產(chǎn)生的幾何誤差。此外,間斷有限元方法的靈活性使得本文方法可以輕易地處理非協(xié)調(diào)網(wǎng)格以及不同片之間采用不同次數(shù)基函數(shù)的情形。 本文主要研究用所提出的方法來數(shù)值求解定義在復(fù)雜的三維曲面上的偏微分方程。第一章簡單地介紹了計算機(jī)輔助設(shè)計和非均勻有理B樣條、計算機(jī)輔助工程、等幾何分析方法以及間斷有限元方法。第二章給出本文所需要的一些預(yù)備知識。在第三章和第四章中,我們分別考慮求解定義在復(fù)雜曲面上的橢圓方程和Allen-Cahn方程。針對這兩個方程,分別推導(dǎo)出其相應(yīng)的間斷有限元格式,并結(jié)合方程給出本文方法的一系列理論分析。理論分析表明,所得的間斷有限元格式是穩(wěn)定的,并且達(dá)到了最優(yōu)的收斂速度。這兩章的數(shù)值算例不僅驗(yàn)證了所得理論結(jié)果的正確性,而且還展示了本文方法的優(yōu)越性。在第五章,我們將本文方法與幾何流結(jié)合來處理一些曲面設(shè)計問題,包括N邊洞的填補(bǔ)和多個復(fù)雜幾何體之間的光滑拼接問題等。所考慮的兩個幾何流分別是平均曲率流和擬曲面擴(kuò)撒流。在推導(dǎo)出間斷有限元數(shù)值格式后,我們給出其穩(wěn)定性分析以及一系列的數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果。試驗(yàn)結(jié)果表明,所得的目標(biāo)曲面無論是在邊界曲線處還是在面片之間的公共邊界處都可以達(dá)到G1光滑。這充分展現(xiàn)了本文方法的有效性。
【學(xué)位授予單位】：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O241.82

【參考文獻(xiàn)】

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1 李明;徐國良;;G~1連續(xù)幾何偏微分方程B樣條曲面的構(gòu)造[J];計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報;2010年07期

2 ;CONSTRUCTION OF GEOMETRIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS FOR LEVEL SETS[J];Journal of Computational Mathematics;2010年01期

本文編號：1646606