本文選題：優(yōu)化施瓦茲方法　切入點：優(yōu)化傳輸條件　出處：《東北師范大學(xué)》2017年碩士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：眾所周知,無約束橢圓型偏微分方程最優(yōu)控制問題等價于一個耦合二階橢圓型偏微分方程組。在文章[J.D.BENAMOU,SIAM J.Numer.Anal.,33(1996),pp.2401 2416.]中,Benamou考慮了對這種耦合方程組使用施瓦茲區(qū)域分解算法進行求解,在求解過程中使用了Robin型以及耦合的傳輸條件,并且對不同傳輸條件所對應(yīng)的算法做了嚴(yán)格的收斂性分析。本文以兩子區(qū)域區(qū)域分解算法為例,推導(dǎo)出了施瓦茲迭代的最優(yōu)傳輸條件,并依此提出使用Ventcell型以及雙邊Robin型傳輸條件加速施瓦茲迭代過程的收斂。同時,本文也分析了Benamou曾經(jīng)考慮過的Robin型以及耦合型傳輸條件。為了獲得更快的收斂速率,我們使用傅立葉分析獲取子問題迭代的收斂因子,通過對收斂因子的優(yōu)化,獲得傳輸條件中松弛參數(shù)的優(yōu)化選擇,同時給出不同優(yōu)化傳輸條件下算法的漸近收斂率。我們發(fā)現(xiàn)Tikhonov參數(shù)同時出現(xiàn)在優(yōu)化參數(shù)以及相應(yīng)的漸近收斂估計中,對施瓦茲區(qū)域分解算法的收斂性質(zhì)具有顯著影響。數(shù)學(xué)理論上,參數(shù)趨于零將導(dǎo)致問題趨于病態(tài),但越小我們的算法收斂速度越快。最后,我們研究Tikhonov參數(shù)=?4的情況,這一情形是Benamou于1996年提出的一種計算策略。利用與前述相仿的研究手段,我們得到了=?4時Robin型以及耦合型傳輸條件的優(yōu)化參數(shù),并得到了接近于常數(shù)的收斂率估計。由于我們研究的耦合方程組包含了雙調(diào)和方程作為特例,因而本文的研究工作對雙調(diào)和方程施瓦茲方法的優(yōu)化具有重要指導(dǎo)意義。在本文的最后,我們使用數(shù)值例子來檢驗理論結(jié)果。
[Abstract]:It is well known that the optimal control problem for unconstrained elliptic partial differential equations is equivalent to a coupled second-order elliptic partial differential equation system. In the paper [J.D.BENAMOUUUM J.Numer.Anal.Gun 33 / 1996 p. 2401], Benamou considered the use of Schwartz domain decomposition algorithm to solve the coupled equations. The Robin type and coupled transmission conditions are used in the solution, and the convergence of the algorithms corresponding to different transmission conditions is analyzed strictly. In this paper, two subdomain decomposition algorithms are taken as an example. In this paper, the optimal transmission conditions of Schwartz iteration are derived, and the convergence of the Schwartz iteration process is accelerated by using Ventcell type and bilateral Robin type transmission conditions. In this paper, we also analyze the Robin type and coupling transmission conditions considered by Benamou. In order to obtain faster convergence rate, we use Fourier analysis to obtain the iterative convergence factor of the subproblem, and optimize the convergence factor. The optimal selection of relaxation parameters in the transmission conditions is obtained, and the asymptotic convergence rates of the algorithms under different optimal transmission conditions are given. We find that the Tikhonov parameters appear simultaneously in the optimization parameters and the corresponding asymptotic convergence estimates. The convergence property of Schwartz domain decomposition algorithm is significantly affected. In mathematical theory, zero parameters will lead to the problem becoming ill-conditioned, but the smaller the algorithm is, the faster the convergence rate of our algorithm is. Finally, we study the Tikhonov parameters? In 1996, Benamou proposed a computational strategy. The optimal parameters of the 4:00 Robin type and coupling transmission conditions are obtained, and the convergence rate estimates close to the constant are obtained. Since the coupled equations we study contain the biharmonic equation as a special case, Therefore, the research work in this paper is of great significance to the optimization of the Schwartz method for biharmonic equations. At the end of this paper, we use numerical examples to test the theoretical results.
【學(xué)位授予單位】：東北師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O232

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